既然我們有了將實際濾波器轉換為磚墻式濾波器的算式，那么我們就能很方便地進行功率頻譜的積分運算了。請記住，功率的積分運算為電壓頻譜的平方。我們需將積分結果進行平方根運算轉換回電壓。方程式 2.3 即由此得出（見附錄 2.1）。因此，根據產品說明書中的數據套用方程式 2.2 、方程式 2.3便可計算出寬帶噪聲。

方程式 2.3：寬帶噪聲方程式。

　　我們需記住，我們的目標是測定圖 2.3 中噪聲源 Vn 的幅度。該噪聲源包括寬帶噪聲與 1/f 噪聲。我們用方程式 2.2 與 2.3 可計算出寬帶噪聲。現在我們應計算 1/f 噪聲，這就需求對噪聲頻率密度圖 1/f 區域的功率頻譜進行積分計算（如圖 2.10所示）。我們可用方程式 2.4 和 2.5 獲得有關積分結果。方程式 2.4 將 1/f 區的噪聲測量結果歸一化為 1Hz 時的噪聲。某些情況下，我們可從圖中直接讀出該數值，有時用方程式更方便求得（見圖 2.11）。方程式2.5用歸一化噪聲、上部噪聲帶寬與下部噪聲帶寬來計算 1/f 噪聲。附錄 2.2 給出了整個演算過程。

圖 2.10：1/f 區域。

方程式 2.4：頻率為 1Hz 時的噪聲 （歸一化）。

方程式 2.5：1/f 噪聲計算。

　　在考慮 1/f 噪聲時，我們必須選擇低頻截止點。這是因為 1/f 函數分母為零時無意義（即 1/0 無意義）。事實上，理論上 0 赫茲時噪聲趨近于無窮。但我們應當考慮到，頻率極低時，其相應的時間也非常長。舉例來說，0.1Hz 對應于 10 秒，而 0.001Hz則對應于 1000 秒。對極低的頻率而言，對應的時間有可能為數年（如 10nHz 對應于 3 年）。頻率間隔越大，積分計算所得的噪聲就越大。不過我們也要記住，極低頻噪聲檢測需要很長時間。我們在以后的文章中將更詳細地探討此問題。目前，我們暫且記住這一點，1/f 計算時通常用 0.1Hz 作為低頻截止點。

　　既然我們已得到了寬帶與 1/f 噪聲的幅度，現在就用第一部分給出的無相關噪聲源算式來疊加噪聲源 （見如下方程式 2.6 與本系列文章的第一部分中的方程式 1.8）。

方程式 2.6： 1/f 與寬帶噪聲疊加結果。

　　　工程師考慮分析方法時通常會擔心，1/f 噪聲與寬帶噪聲是否應在兩個不同的區域進行積分計算。換言之，他們認為，由于 1/f 噪聲與寬帶噪聲相加后會超出 1/f 區域，從而出現錯誤。實際上，1/f 區域與寬帶區域一樣，都涵蓋所有頻率。我們必須記住，當噪聲頻譜顯示在對數圖上，1/f 區在降至寬帶曲線以下后影響極小。兩條曲線結合明顯的唯一區域就在 1/f 半功率頻點處。在此區域中，我們看到兩區域結合部的情況與數學模型相同。圖 2.12 顯示了兩區實際重疊的情況，并給出了相應的幅度。 

圖 2.12：1/f 噪聲區與寬帶區重疊。

現在，我們已得到了將噪聲頻譜密度曲線轉換為噪聲源所需的全部方程式。請注意，現在我們已推算出了電壓噪聲所需的方程式，不過相同的方法也可運用于電流噪聲的計算。在本系列隨后的文章中，我們將討論用有關方程式來解決運算放大器電流的噪聲分析問題。

本文總結與下一篇文章簡介

在噪聲系列文章中，本文介紹了運算放大器的噪聲模型與噪聲頻譜密度曲線。此外，我們還介紹了基本的噪聲計算方程式。本系列的第三部分將用實例說明實際電路中的噪聲計算過程。

致謝！

特別感謝以下人員提供的技術意見

TIBurr-Brown 產品部：

Rod Bert，高級模擬 IC 設計經理
Bruce Trump，線性產品經理
Tim Green，應用工程設計經理
Neil Albaugh，高級應用工程師 

作者：TI高級應用工程師, Art Kay

參考書目

Robert V. Hogg 與 Elliot A Tanis 共同編著的《概率與統計推斷》，第三版，麥克米蘭出版公司 (Macmillan Publishing Co.)出版；

C. D. Motchenbacher 與 J. A. Connelly 共同編著的《低噪聲電子系統設計》，Wiley-Interscience Publication 出版。

關于作者：

　　Arthur Kay是 TI 的高級應用工程師。他專門負責傳感器信號調節器件的支持工作。他于 1993 年畢業于佐治亞理工學院 (Georgia Institute of Technology)并獲得電子工程碩士學位。他曾在 Burr-Brown與 Northrop Grumman 公司擔任過半導體測試工程師。

附錄 2.1：

附錄 2.1。

 附錄 2.2：

一階濾波器“磚墻”校正系數的演算過程。