0 引言

    四旋翼飛行器是多旋翼飛行器中的一種。它有4個轉(zhuǎn)子，被放置在距離飛行器質(zhì)量中心等距的方形結(jié)構(gòu)中。飛行器通過調(diào)整電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速來進(jìn)行姿態(tài)位置控制，正是由于這種簡單的結(jié)構(gòu)設(shè)計，使其能夠垂直升降、懸停及其靈活的機(jī)動性，被廣泛用于城市交通監(jiān)控、測繪、搜尋、救援和施工檢查等應(yīng)用中。

    四旋翼飛行器由于在飛行過程中有許多不確定因素，具有復(fù)雜的空氣動力學(xué)特性^[1-3]，使學(xué)者們在四旋翼飛行器控制方法和控制器的設(shè)計等方面做了許多的研究。其中包括反步控制、非線性H_∞控制、LQR控制器等。實驗結(jié)果表明在大角度時，采用非線性控制方法能夠取得良好的控制效果^[4]，反步法設(shè)計的控制器在相對高擾動下取得了很好的姿態(tài)角控制效果^[5]。

    這些控制器在姿態(tài)控制等方面雖然有比較好的效果，但由于其控制算法需要建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，計算量大，數(shù)據(jù)的實時處理對處理器性能要求特別高，實現(xiàn)起來有一定的困難。為此本文設(shè)計了一種易于實現(xiàn)的、能夠快速穩(wěn)定的對四旋翼飛行器實現(xiàn)姿態(tài)控制的串級PID控制器。

1 四旋翼飛行器的基本工作原理

    四旋翼飛行器是通過改變兩對正反螺旋槳的轉(zhuǎn)速來實現(xiàn)對機(jī)體的運動控制。如圖1所示，在平衡狀態(tài)下，電機(jī)1和3的螺旋槳逆時針旋轉(zhuǎn)，而電機(jī)2和4的螺旋槳順時針旋轉(zhuǎn)，但產(chǎn)生正方向上的升力，這樣當(dāng)飛行器4個螺旋槳有相同的轉(zhuǎn)速時，所產(chǎn)生的反旋轉(zhuǎn)力矩正好可以互相抵消。

    四旋翼飛行器是一個四輸入、六輸出的欠輸入控制系統(tǒng)，需要選擇4個合適的控制變量：垂直運動推力U₁、橫滾(Roll)運動U₂、俯仰(Pitch)運動U₃和偏航(Yaw)運動U₄，對系統(tǒng)進(jìn)行解耦，從而使飛行器更加容易控制。假設(shè)飛行器懸停時4個螺旋槳轉(zhuǎn)速為Ω_H，改變螺旋槳轉(zhuǎn)速變化量Δ_A和Δ_B值相等、符號相反，以至于推力U1不發(fā)生變化，從而使飛行器不會爬升或下降，來產(chǎn)生俯仰、橫滾和偏航運動。

2 四旋翼飛行器的數(shù)學(xué)模型

    為方便飛行器的建模，定義兩個坐標(biāo)系：慣性坐標(biāo)系（北東天坐標(biāo)系）、機(jī)體坐標(biāo)系。其中慣性坐標(biāo)系在地面，機(jī)體坐標(biāo)系與飛行器固聯(lián)，如圖2所示。

    為方便分析建模作兩點假設(shè)：(1)四旋翼飛行器是剛體，質(zhì)心和機(jī)體坐標(biāo)系原點重合；(2)機(jī)體坐標(biāo)系的主軸和機(jī)體的慣性主軸相重合。

2.1 運動學(xué)方程建立

2.2 牛頓歐拉方程建立

    由假設(shè)(1)，根據(jù)牛頓歐拉方程，飛行器動力學(xué)方程為：

    使用葉素動量理論可以推導(dǎo)出螺旋槳所產(chǎn)生的力和旋轉(zhuǎn)力矩與它的轉(zhuǎn)速平方成正比^[3，6]。

    推力和旋轉(zhuǎn)力矩之間的關(guān)系由下式描述：

式中，l為電機(jī)到飛行器中心距離，k_F為推力系數(shù)，k_M為旋轉(zhuǎn)力矩系數(shù)。

    飛行器位置控制相對于慣性坐標(biāo)系，姿態(tài)控制相對于機(jī)體坐標(biāo)系，定義混合坐標(biāo)系，包含相對于慣性坐標(biāo)系的位置信息和相對于機(jī)體坐標(biāo)系的姿態(tài)信息[6]，速度角速度矢量如下：

    由式(9)知，以U₁、U₂、U₃、U₄為系統(tǒng)輸入可以控制機(jī)體的位置和姿態(tài)6個自由度的運動，從而對系統(tǒng)進(jìn)行解耦，解決了飛行器欠驅(qū)動控制問題。

3 四旋翼飛行器的控制系統(tǒng)構(gòu)建

    由式(3)和式(9)可知，歐拉角及其對時間的微分不依賴位置運動，而位置運動依賴于歐拉角。將系統(tǒng)的運動分為兩個子系統(tǒng)：姿態(tài)運動M₁(在機(jī)體坐標(biāo)系中)和位置運動M₂(在慣性坐標(biāo)系)。飛行器內(nèi)部控制結(jié)構(gòu)如圖3所示。

    C₁為內(nèi)回路控制器，C₂為外回路控制器。由圖4可知，四旋翼飛行器的控制系統(tǒng)分為內(nèi)回路和外回路，內(nèi)回路為姿態(tài)控制是外回路位置控制的基礎(chǔ)，通過控制飛行器的3個歐拉角，實現(xiàn)對飛行器的姿態(tài)控制，進(jìn)而實現(xiàn)對飛行器位置控制。

4 控制器設(shè)計及系統(tǒng)仿真

    根據(jù)以上分析對系統(tǒng)設(shè)計串級PID控制器，內(nèi)回路為姿態(tài)控制，外回路為位置控制。

4.1 線性化數(shù)學(xué)模型

    在實際飛行中俯仰角θ、滾轉(zhuǎn)角φ，角速度矢量ω^B比較小。假設(shè)在飛行中偏航角ψ=ψ₀保持不變，其中ψ₀為初始偏航角。在定高或懸停的穩(wěn)態(tài)附近，有：

4.2 內(nèi)回路：姿態(tài)控制回路

    在PID控制器中，比例（p）和積分（I）能夠提高穩(wěn)態(tài)精度，但積分環(huán)節(jié)的加入降低了系統(tǒng)穩(wěn)定性和響應(yīng)速度，系統(tǒng)很容易發(fā)散。微分（D）不但能夠提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，而且能夠提高系統(tǒng)響應(yīng)速度。因此，內(nèi)回路設(shè)計PD控制器對飛行器進(jìn)行姿態(tài)控制。

    由式(10)設(shè)計PD控制器，可得：

    結(jié)合式(7)、式(11)可得到期望姿態(tài)角與期望轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系。

4.3 外回路：位置控制回路

    由圖3可知，系統(tǒng)輸入為期望位置量，經(jīng)過外環(huán)控制器轉(zhuǎn)換為期望的姿態(tài)角，作為內(nèi)環(huán)的輸入。

4.4 搭建系統(tǒng)仿真控制回路

    如圖4所示，系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)包括：位置控制、姿態(tài)控制、電機(jī)動力學(xué)模型、飛行器動力學(xué)模型、IMU和Kalman(傳感器建模與濾波器設(shè)計，包括陀螺儀、加速度計、磁羅盤、氣壓計，考慮傳感器在測量過程中的噪聲與漂移，設(shè)計卡爾曼濾波器，輸出準(zhǔn)確的位置和姿態(tài)信息，使仿真更加真實可靠)。仿真參數(shù)如表1所示。

4.5 仿真結(jié)果

    (1)定點懸停

    在零初始條件下，輸入r^d=(X^d，Y^d，Z^d)=(5，10，15)時，系統(tǒng)位置輸出如圖5所示。

    飛行器在運動中無超調(diào)，運行平穩(wěn)，在8 s左右到達(dá)目標(biāo)位置，最終穩(wěn)定在X、Y、Z軸位置分別為5.001 5、10.013 6、15.008 6，誤差非常小，滿足控制要求。

    (2)位置跟蹤

    在零初始條件下，X軸輸入為斜坡信號r^d=(X^d，Y^d，Z^d)=(t，10，20)，0≤t≤20 s，系統(tǒng)位置輸出如圖6所示。

    當(dāng)X軸輸入為斜坡信號時，在3 s左右，追蹤到了斜坡信號，3 s之后追蹤誤差非常小，Y軸和Z軸在8 s左右進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，飛行器在整個運動中無超調(diào)，運行平穩(wěn)，最終穩(wěn)定在X、Y、Z軸位置分別為20.001 5、10.020 3、15.006 5，誤差非常小，滿足控制要求。

5 總結(jié)

    本文主要研究了基于四軸飛行器的串級PID控制算法。在內(nèi)回路姿態(tài)控制設(shè)計PD控制器，外回路位置控制設(shè)計PID控制器，仿真結(jié)果表明：(1)所設(shè)計控制算法能夠快速、穩(wěn)定地對四旋翼飛行器實現(xiàn)姿態(tài)位置控制；(2)所設(shè)計的控制算法有比較好的軌跡追蹤能力；(3)對外界干擾具有比較好的魯棒性；(4)該控制器易于移植到實驗平臺上，進(jìn)一步驗證控制算法的正確性。

參考文獻(xiàn)

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作者信息:

薛佳樂，程  珩

（太原理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原030024）