黨超，劉鋒，曾連蓀

　　（上海海事大學 信息工程學院，上海 201306）

　　摘要：應用信號對齊方法研究了多輸入多輸出雙向中繼3×2 X信道的自由度問題，并分析了其天線配置條件。然而，對于更一般的多用戶X信道，隨著用戶數的增加，應用這一方案所需要的天線數也會迅速增加，在實際應用中難以實現。為緩解這一問題，該文進一步提出了基于時間擴展的解決方案。

　　關鍵詞：自由度；信號對齊；時間擴展

0引言

　　*基金項目：國家自然科學基金（61271283）；上海教委科研創新項目（14YZ113）自由度表征了通信信道的傳輸能力。最基本的2×2 X 信道的自由度上界被證明是4A/3［1］，對于一般的M×N X 信道，自由度上界是AMN/(M+N－1) ［2］，這里A表示每個終端的天線數。雙向通信模型很早被香農所提出［3］，并在無線中繼網絡中得到應用。在三用戶MIMO Y 信道模型中應用信號對齊的方案，自由度可以在N≥3M/2時達到3M，這里N和M分別代表中繼和終端的天線數［4］。本文將利用信號對齊結合網絡編碼的方案來分析應用雙向中繼3×2 X 信道的自由度問題，并進一步研究了一般情況下的實現方案。其中關于多值信號檢測［5］、迫零矢量的設計已有很多論文涉及［6］，網絡編碼的方法也早已被提出［7］，此處不做深入介紹，而只應用其結論。

1信道模型

　　如圖1所示，在多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output, MIMO）雙向中繼的3×2 X信道中，左側三個終端希望分別傳送一個消息給右側的兩個終端，同樣右側的兩個終端也要分別傳送一個消息給左側的三個終端圖1雙向中繼 3×2 X 信道，那么需要傳送的消息總數是12個。借助雙向中繼，本文利用MIMO技術在同一時頻資源上傳輸全部12個消息。假設左側終端的天線數為Ai，右側終端的天線數為Aj，中繼的天線數為AR。

　　模型說明：任意兩個終端無法直接通信，只能通過中繼實現信息交流；所有的信道是準靜態平坦的；信道元素取自具有零均值和單位方差的獨立同分布的復高斯分布；所有的終端和中繼都工作在全雙工模式下。

2信號對齊方案

　　整個方案的實現分為兩個過程：多址接入（Multiple Access, MAC）階段和廣播（Broadcast, BC）階段。首先，在MAC階段各終端把信號發送給中繼，在中繼處應用信號對齊和網絡編碼的方法得到包含所有消息的網絡編碼消息，然后中繼在BC階段把這些編碼后的消息發送給各個終端，最后各終端利用自己發出的消息來得到期望消息。為了更方便地進行分析，這里首先把各終端和中繼的天線數設定為Ai=3，Aj=4，AR=6，下面就這兩個階段作具體分析。

　　2.1MAC階段

　　在MAC階段，左側的三個終端Ti(i=1,2,3)分別沿波束成形矢量vj,i發送消息xj,i給右側的終端Tj(j=4,5)，同樣地，右側的終端也要沿波束成形矢量vi,j傳輸消息xi,j給左側終端。則中繼接收到：

　　yr=∑3i=1Hr,ixr,i+∑5j=4Hr,jxr,j+nr（1）

　　其中，Hr,i和Hr，j表示信道矩陣，nr表示具有零均值和單位方差的加性高斯白噪聲，同時有：

　　xr,i=∑5j=4vj,ixj,i(i=1,2,3)（2）

　　xr,j=∑3i=1vi,jxi,j(j=4,5)（3）

　　滿足功率約束條件E{tr［xr,ixHr,i］}≤Pi，E{tr［xr,jxHr,j］}≤Pj。

　　實現信號對齊的目的是把對發的消息對齊，形成一個包含兩個對發消息的疊加消息，從而降低中繼的維度要求，比如xr(1,4)=x1,4+x4,1。那么就要有：

　　span(Hr,1v4,1)=span(Hr,4v1,4)=span(ur(1,4))（4）

　　其中，span(A)表示由矩陣A的列向量張成的空間，而span(A)=span(B)代表了A和B所張成的子空間是相等的。要得到v1,4和v4,1，需要滿足下式：

　　這里ur(1,4)就是取自兩個信道矩陣的交叉空間的向量。而要保證上式中右側的列向量存在，就要保證左側的矩陣存在零空間，又因為該矩陣是12×13的，那么它至少具有一維的零空間，即保證了ur(1,4)，v1,4和v4,1的存在。那么式(1)變為：

　　yr=urxr+nr（6）

　　其中,ur=［ur(1,4)ur(1,5)ur(2,4)ur(2,5)ur(3,4)ur(3,5)］，xr=［xr(1,4)xr(1,5)xr(2,4)xr(2,5)xr(3,4)xr(3,5)］T。正如前面xr(1,4)=x1,4+x4,1，xr(1,5)=x1,5+x5,1，其他也是這樣，那么共有6個疊加的消息，而中繼有6條天線，所以有足夠的空間解得這6個疊加的消息。然后應用網絡編碼的方法，將解得的疊加消息重新編碼為新的發送消息r=［r(1,4)r(1,5)r(2,4)r(2,5)r(3,4)r(3,5)］T。下面只需把編碼后的消息發送給各終端，然后終端利用自己的邊信息解得期望消息，即相當于一個廣播信道模型。

　　2.2BC階段

　　在BC階段要發送編碼后的消息，需要考慮如何設計各個消息的波束成形矢量。為了盡可能地避免非期望消息帶來的干擾，考慮如MAC階段的式(4)，設計信道對齊向量來對齊信道：

　　span(d1,4H1,r)=span(d4,1H4,r)=span(fr(1,4))(7)

　　由式(4)的推理過程，容易理解此式是成立的，詳細過程不再贅述。對齊所有的信道以后，可以得到：Fr=［fTr(1,4)fTr(1,5)fTr(2,4)fTr(2,5)fTr(3,4)fTr(3,5)］T，然后定義r(i,j)=Fr/fr(i,j)，表示在Fr中去除fr(i,j)后的矩陣。因為r(i,j)是一個5×6的矩陣，存在零空間，那么就可以得到其零向量pr(i,j)null(r(i,j))。然后以pr(i,j)作為疊加消息r(i,j)的波束成形矢量，以Pr=［pr(1,4)pr(1,5)pr(2,4)pr(2,5)pr(3,4)pr(3,5)］作為消息向量的波束成形矩陣。而信道對齊向量構成的矩陣為終端處的過濾矩陣，以終端1為例，它的過濾矩陣為D1=［dT1,4dT1,5］T。那么由此可知終端1收到的信號可表示為y1=H1,rPrr+n1，由于使用了過濾矩陣，則可將其轉化為：

　　這樣在終端1可以得到期望的疊加消息r(1,4)和r(1,5)，然后利用其自己的消息即可得到期望消息x1,4和x1,5。其他的終端也用類似方法得到其期望消息。

3天線配置條件

　　假設任意兩個相互通信的終端，每次通信的消息數為d，則有Ai≥2d，Aj≥3d，那么由割集理論可知，總的自由度：

　　dsum≤2min∑3i=1Ai,AR,∑5j=4Aj=2AR=12d

　　由此可知2AR=12d是一個上界，并且：

　　d14+d15+d24+d25+d34+d35=6d=AR

　　又由2.1節分析可知，應有：

　　di,j≤Ai+Aj－AR

　　所以可得：

　　AR≤67(Ai+Aj)（9）

　　由上面的分析可知，各終端與中繼的天線數應該滿足式（9）條件。

　　但是，當終端數量較多時，需要通信的消息數很多，就要求中繼和終端的天線數急劇增加，而這在實際應用中并不容易實現，除非采用大規模MIMO技術。考慮到空時轉換，下節介紹了基于時間擴展的方案來緩解這一問題。其基本思想是通過通信時隙的增加來降低對天線數的要求，基本方法仍然是信號對齊的方法。此方案盡管降低了單位時隙的自由度，但更容易實現。

4時間擴展方案

　　圖2所示是一般的雙向中繼的M×N X 信道模型。左側M個終端都裝備有N條天線，而中繼和右側的N個終端都有M條天線，整個過程在N個時隙內完成2MN個消息的傳輸。　

　　4.1MAC階段

　　以第一個時隙為例，在第一個時隙，右側終端TM+1分別向左側M個終端各發送一個消息xi,M+1(i=1,2,…,M)，共M個消息。而左側的M個終端Ti(i=1,2,…,M)分別發送它們的第一個消息xM+1,i給右側的終端TM+1。

　　其他時隙也類似，那么在時隙t，中繼收到的消息為：

　　中繼收到了2M個消息，要把它們對齊在M個維度中就要使得Hr,M+tvi,M+t=Hr,ivM+t,i成立，又因為Hr,M+t和Hr,i分別是M×M和M×N的，所以vi,M+t和vM+t,i是容易得到的。

　　4.2BC階段

　　如前面第2節所分析，這里中繼再把2M個消息對齊到M個維度后，得到網絡編碼后的消息，然后發送給各個終端。

　　這里右側終端有M條天線，與中繼的通信相當于點對點的通信，自然可以解得所有的消息。而對于左側的M個終端，每個終端只有一個期望信號，與中繼組成一個廣播信道，也可以得到其期望的疊加消息。最后，每個終端利用自己發出的消息即可得到期望消息。

　　所以在每一個時隙里面，右側的一個終端解得了M個消息，左側的M個終端都分別解得了一個消息，加起來也是M個消息。那么在N個時隙里面，整個網絡共實現了2MN個消息的通信。

5結論

　　針對雙向中繼3×2X信道，詳細分析了信號對齊方案的實現過程，并且得到了較高的自由度，同時也分析了該方案的限制條件。結合實際應用，對于一般多用戶的X信道，本文提出了時間擴展的方案，通過增加時隙數來降低對天線數的需求。如何在保證高自由度的同時，進一步降低對終端天線數的要求將是下一步的研究重點。

參考文獻

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