摘  要： 多模圖像由于受到成像帶寬的限制，往往在有些波段會受到較大噪聲的干擾。對偶雙邊濾波是目前對多模圖像去噪較為常規的方法，能同時對多幅圖像進行聯合去噪，但存在計算效率低下的問題。針對該問題提出一種基于交叉積分直方圖的對偶雙邊濾波算法。該算法通過所構造的交叉積分直方圖能夠在常數時間里計算出濾波器的系數，并且算法的復雜度不受濾波半徑的影響，因此有效提高了原始對偶雙邊濾波器的適用范圍和計算效率。

　　關鍵詞： 圖像去噪；多模圖像；聯合雙邊濾波；積分直方圖

0 引言

　　在圖像處理與計算機視覺領域，圖像去噪是一項重要的、基本的研究課題[1-2]。去除圖像噪聲能提高圖像視覺質量，是對圖像后續處理的前提，另外，圖像去噪的方法在理論上與其他圖像處理有著緊密的聯系，研究圖像去噪方法有一定的理論價值和實際意義。目前基于空間域的圖像去噪分為局部方法和非局部方法[3]。

　　本文研究的是對多模圖像的去噪，多模圖像是指對同一目標在不同條件下獲得的兩幅或者兩幅以上的圖像。在對多模圖像進行處理之前都必須進行圖像預處理，如圖像的配準。目前多模圖像的柔性配準[4]是醫學圖像處理和遙感圖像處理的一個熱點，也是難點問題。在未來多模圖像聯合處理將會越來越多地應用于實際工程中。

　　目前的圖像去噪方法中比較有代表性的一類是用高分辨率模態的圖像來指導低分辨率的圖像進行聯合處理。TOMASI C等人[5-6]針對圖像去噪問題提出的雙邊濾波算法，由于其簡單易實現和無需迭代的特性在圖像處理領域獲得了廣泛運用。PETSCHNIGG G等人[7]將雙邊濾波（Bilateral Filter，BF）擴展到了兩張相關的圖像，提出了聯合雙邊濾波（Joint Bilateral Filter，JBF）的方法，用輪廓清晰的閃光圖像來指導灰度信息保持較好的非閃光圖像的去噪。Zhang Ke等人[8]又在此基礎上提出了聯合積分直方圖方法，利用該方法能夠在常數時間內執行聯合雙邊濾波，有效降低了聯合雙邊帶濾波的計算復雜度。BENNETT E等人[9]針對包含了明顯噪聲的多模圖像提出了對偶雙邊濾波（Dual Bilateral Filter，DBF），其幾何權重使用歐式距離，灰度權值由所有分量共同計算得到，并采用統一的灰度權重。該算法能夠在抑制噪聲的同時對圖像進行銳化。

　　本文主要考慮的是對存在明顯噪聲且已經配準好的多模圖像進行交叉去噪。聯合積分直方圖（Joint Integral Histogram，JIH）[10]使得任意矩形區域的聯合雙邊濾波結果能夠在常數時間內計算出來。本文正是受此啟發，對該算法進行了擴展，提出了交叉積分直方圖（Cross Integral Histogram，CIH），并使用該數據結構對DBF算法進行了有效加速，使之能夠在常數時間內得到去噪結果并且不受濾波塊半徑的影響。

1 相關工作

　　1.1 雙邊濾波

　　雙邊帶濾波器由兩個函數構成，一個函數gs（·）由幾何空間距離決定濾波器系數，另一個函數gr（·）由像素差值決定濾波器系數。對于圖像：

　　1.2 聯合雙邊濾波

　　聯合雙邊濾波（JBF）算法[7]是對雙邊濾波[5]算法的擴展。該算法在對一幅受噪聲污染的圖像I1進行濾波時所使用的濾波權重由另一幅不受噪聲污染的圖像I2來引導計算，公式如下：

      其中，灰度濾波器的權重用無噪聲圖像的灰度進行計算。

　　1.3 對偶雙邊濾波

　　在多模圖像處理領域，由于成像設備的限制不同模態的圖像均可能被噪聲污染。有些情況下在對一幅圖像去噪時可能所參照的另一幅圖像同樣受到噪聲污染。在這種情況下對偶雙邊濾波是較為廣泛使用的一種方法。對偶濾波算法對于多模圖像的每個分量采用統一的灰度測度權重，該權重由所有分量共同計算得到，公式如下：

　　其中，k=1，2代表對兩個模態的圖像分別進行去噪。

2 基于交叉積分直方圖的雙邊濾波算法

　　本節對DBF算法使用交叉積分直方圖進行加速，為了算法描述方便，首先考慮將式（3）中空間高斯函數代換為box函數的簡單情況進行加速。后面將通過多個box空間濾波器的線性疊加來近似高斯濾波器。

　　2.1 將空間高斯函數代換為box函數

　　為了簡化計算先將空間距離的濾波函數由高斯函數近似為box函數。則對于圖像中像k素點i的灰度值估計為：

　　對式（4）可以寫成另外一種形式：

　　其中，s1、s2分別代表對圖像I1和I2灰度量化后的灰度階。相比于式（4）對于空間像素進行迭代累加，式（5）將迭代累加索引變換為圖像灰度的量化階。實際上，在分子中第二個累加和可以解釋為對于給定的s1、s2，Lik δ（Ij1-s1）δ（Ij2-s2）代表對圖像Ik的濾波塊中，對滿足特定條件的空間位置的灰度值進行累加。可以看到，該條件即在這些空間位置上I1和I2的灰度階同時分別等于s1和s2。同樣，分母中δ（Ij1-s1）δ（Ij2-s2）表示在空間濾波的塊中，滿足上述條件的空間位置的個數。

　　為了對式（5）加速，本文提出了交叉積分直方圖，將圖像從該點到圖像原點的矩形區域中所有滿足上述條件的灰度值累加結果保存在該數據結構中。式（5）分子部分的交叉積分直方圖（CIH）定義為：

　　對算法的主要加速來自于對圖像I1與圖像I2構造交叉積分直方圖，通過交叉積分直方圖使得原始的乘積求和可以在常數時間得到并且算法的復雜度不受濾波半徑的影響。

　　2.2 通過線性組合box函數來近似高斯函數

　　通常情況下空間濾波器設置為高斯函數，同參考文獻[9]一樣，本文使用二項式濾波器來近似高斯濾波器。而二項式濾波器可以被視為3個重疊的box濾波器的組合來進行近似。在本文中，3個box濾波器的半徑分別為，相應的權重分別為={2，3，1}，因此式（10）可進一步寫成：

　　其中，S（r，i）代表式（10）中的分子而W（r，i）代表分母，r為計算時的鄰域半徑。

3 實驗與結果

　　在實驗中，首先將所提出方法與對偶雙邊濾波方法（DBF）進行比較。如圖1所示，第1列為從Brainweb上獲得的模擬腦部核磁共振的多模圖像“T1”和“T2”。第2列圖像是對原始多模圖像添加了高斯噪聲后的圖像，噪聲圖像的峰值信噪比為PSNR=20 dB。用DBF算法的去噪結果在第3列，所提出方法的去噪結果在第4列。第1行表示對“T1”的去噪結果，第2行表示對“T2”的去噪結果。通過圖1可以看到，所提出方法與DBF方法所獲得的去噪結果在視覺上幾乎一樣。在所提出方法中bins=32，bins的值代表對圖像量化時將多少個像素值量化到一個值。

　　顯然，量化參數s能夠加快運算速度。對s采樣越稀疏越能獲得更快的速度。同樣，也分析了由s的量化程度對去噪結果可能帶來的影響。使用峰值信噪比（PSNR）來比較所提出方法的去噪結果與原始DBF方法的去噪結果。對于兩幅圖像I和I*，PSNR定義為10log，其中N為像素個數，圖像灰度范圍歸一化到[0，1]。圖2（a）為圖1中測試結果的PSNR值。可以看到，所提出方法即使是在灰度被量化到bins很大時得到的結果與DBF方法也很近似。

　　圖2（b）顯示了在不同bins數目條件下的計算時間。從圖中可以看到所提出方法的運行時間不受濾波半徑影響，然而DBF算法的運行時間是隨著濾波半徑的增大而增大的。在合理的濾波半徑下，可以明顯看到所提出方法的加速性能。同時考慮到構建CIH的時間消耗，消耗的內存是隨著圖像分辨率以及灰度量化的程度而線性增加的。從圖2（b）可以看到，適當減小bins的數量能得到理想的濾波效果同時內存的消耗也比較小。

4 結論

　　本文提出了一種基于交叉積分直方圖的多模圖像去噪方法。盡管這篇文章提出的方法與DBF方法很接近，但是實驗結果表明該算法在計算效率上明顯優于DBF方法，特別是針對需要較大濾波半徑進行去噪的高分辨率噪聲圖像，該方法能更快速計算并取得與DBF相近的效果。該算法適合于各種圖像去噪以及其他計算機視覺方面的應用。

參考文獻

　　[1] 朱虹.數字圖像處理基礎[M].北京：科學出版社，2005.

　　[2] 章毓晉.圖像處理和分析（第2版）[M].北京：清華大學出版社，2002.

　　[3] 成敏，馬士友，董睿，等.基于非局部均值化的醫學圖像去噪[J].微型機與應用，2013，32（7）：34-35，39.

　　[4] SOTIRAS A， DAVATZIKOS C， PARAGIOS N. Deformable medical image registration： a survey[J]. IEEE Transactions on Medical Imaging， 2013， 32（7）：1153-1190.

　　[5] TOMASI C， MANDUCHI R. Bilateral filtering for gray and color images[C]. The 6th International Conference on Computer Vision， 1998： 839-846.

　　[6] ELAD M. On the origin of the bilateral flter and ways to improve it[J]. IEEE Transactions on Image Processing， 2002， 11（10）：1141-1151.

　　[7] PETSCHNIGG G， SZELISKI R， AGRAWALA M， et al.Digital photography with flash and no-flash image pairs[J].ACM Transactions on Graphics， 2004， 23（3）：661-669.

　　[8] Zhang Ke， GAUTHIER L， RUDY L， et al. Constant time joint bilateral filtering using joint integral histograms[J]. IEEE Transactions on Image Processing A Publication of the IEEE Signal Processing Society，2012，21（9）：4309-4314.

　　[9] BENNETT E P， MASON J L， MCMILLAN L. Multispectral bilateral video fusion[J]. IEEE Transactions on Image Processing， 2007， 16（5）：1185-1194.

　　[10] PORIKLI F. Integral histogram： A fast way to extract histograms in cartesian spaces[C]. IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition（CVPR 2005）， 2005： 829-836.