摘  要： 非下采樣剪切波（nonsubsampled Shearlet）是一種優秀的多尺度幾何分析工具，其不僅可以檢測到所有奇異點，而且能夠自適應跟蹤奇異曲線方向。基于非下采樣剪切波，提出了一種使用帶有一致性的臨近支持向量機（a Proximal Classifier with Consistency，PCC）的圖像去噪算法。首先，應用非下采樣剪切波把含噪圖像分解成不同尺度不同方向的子帶；其次，非下采樣剪切波系數通過PPC訓練被分成兩類（無噪系數和噪聲系數）；最后應用自適應閾值對含噪系數進行去噪。仿真實驗結果表明，本文算法不僅擁有較強的抑制噪聲能力，而且具有較好的邊緣保護能力。

　　關鍵詞： 圖像去噪；非下采樣剪切波；帶有一致性的臨近支持向量機；自適應閾值；邊緣保護

0 引言

　　圖像在獲取和傳輸的過程中，經常會受到各種噪聲的污染。噪聲的存在將大大降低原圖像的分辨率，從而嚴重影響后續的圖像處理，如圖像檢索、圖像分割等。因此，圖像去噪始終是圖像處理領域的研究熱點之一。

　　一般說來，傳統圖像去噪方法大致可以劃分為雙邊濾波、非局部均值、條件隨機場、各向異性擴散和統計模型方法等[1]。

　　雙邊濾波[2]不僅考慮空間位置上的距離關系，同時也考慮相鄰像素灰度值之間的距離關系，然而，它常常使圖像過于平滑；非局部均值法[3]利用圖像中具有重復結構的性質來去除噪聲，可以得到較好的去噪效果，但它計算復雜度高；條件隨機場[4]建模比較靈活，且并不需要明確的先驗模型。然而，在真實世界中，很難找到擁有全局最小值的能量函數；各向異性擴散法[5]，它能在保持邊緣的前提下平滑噪聲，獲得較好的去噪效果，但是該方法過于平滑圖像且邊界過于尖銳；統計模型法[6]中，圖像處理通常基于簡單的統計模型去刻畫圖像信息，這些信息往往是自然圖像的某些共同特征。統計模型的目的就是使用少量的參數捕獲這些典型的特征，并且將這些特征在圖像處理中作為先驗信息使用。

　　近些年來，應用分類方法進行去噪越來越流行，PCC[7]是一種新型分類器，通過計算兩個距離（決策過程的測試點與超平面的距離和訓練過程的測試點與超平面的距離）使得分類精度得到提高。本文以性能優良的非下采樣Shearlet變換為基礎，結合先進的PCC分類工具，提出了基于PCC的非下采樣Shearle域圖像去噪算法。

1 PCC簡介

　　支持向量機（SVM）在樣本處理的過程中用于解決二次規劃的問題十分耗時。O.L.Mangasarian和E.W.Wild提出利用廣義特征值的臨近支持向量[8]，它通過求解一組非平行超平面，使得計算效率優于SVM。Shao Yuanhai等人提出了帶有一致性的臨近支持向量機（a Proximal Classifier with Consistency，PCC）[7]，它通過計算兩個距離（決策過程的測試點與超平面的距離和訓練過程的測試點與超平面的距離），在計算效率提高的同時，使得分類精度也得到了提高。

　　PCC的目標是同時找到一個p+和p-，記作：p+：w+T+b+=0和p-：w-T+b-=0。

　　首先定義正元素X+與正超平面l+的距離：

　　其中M=H+-vH-，N=H--vH+。這樣問題的最優解可以轉化為求以下兩個最小值：

　　在獲得上面問題的結果u+=（w+，b+），u-=（w-，b-）后，就可以通過以下判別公式去判斷一個樣本x∈Rn屬于最近超平面所在的類：

2 非下采樣Shearlet變換簡介

　　圖像去噪時，邊緣和紋理等主要特征是需要保留下來的，Shearlet變換[9-10]是對紋理和邊緣具有很好表示能力的變換，它是Labate和Guo等人通過特殊的具有合成膨脹的仿射系統構造的。其具有的合成膨脹仿射系統可以表示為：

　　如果ΨAB（Ψ）是緊框架，即滿足Parseval框架，那么對任意f∈L2（R2）都有：

　　ΨAB（Ψ）的元素其實是合成小波，Aj是與尺度變換相關聯的伸縮矩陣，Bl與剪切和旋轉等面積不變的幾何變換相關聯。當時，其形式就是Shearlet變換。本方案采用非下采樣Shearlet變換，它不僅具有Shearlet變換的優點：臨界采樣、局域性、各向異性、多方向性等，而且增加了平移不變性，這使得它在圖像去噪領域的應用更加廣泛。設參數scale=[s1s2…sL]，則可分解為L尺度，每個尺度分解為2個方向。圖1為Zoneplate圖像在參數scale=[2 3]下的非下采樣Shearlet分解，第一尺度分解為8個方向，第二個尺度分解為4個方向。

3 基于PCC的非下采樣Shearlet域去噪

　　在非下采樣Shearlet域，有：

　　v=u+e（7）

　　其中u，v，e分別代表原始圖像非下采樣Shearlet系數、含噪圖像非下采樣Shearlet系數以及噪聲系數。問題就轉化成給定v估計u。去噪的步驟如下：

　　（1）對含噪圖像進行非下采樣Shearlet變換得到不同尺度不同方向的變換子帶。

　　（2）有意義系數的測量。自然圖像經變換后的高頻子帶中大部分區域是由小系數組成的，且這些小系數被少量的大系數（邊緣和紋理）分隔開來，其中只有邊緣和紋理可以被人眼清晰地看見。所以在圖像去噪過程中，人們通常把高頻子帶中邊緣和紋理部分盡可能地保留下來，其他部分當成噪聲系數濾掉，進而獲得不含噪聲的圖像。邊緣和紋理這些需要保留下來的系數定義為“有意義系數”。

　　對變換后子帶中的每個系數，使用下面的規則[11]將它們標記為0和1：

　　其中tj為隨著分級不同而變化的閾值：

　　通過上述方法構成了一幅“二元圖”（圖中只包含0和1）。數值為0的點和數值為1但孤立存在的點都認為是噪聲點，其他的點是否為噪聲點還需要進一步判斷。在文獻[12]中，只有系數為1的點連在一起的個數大于某一個值S時被認為是有意義系數即非噪聲點，而數值小于S的點則為噪聲點。在有意義系數最多的一條路徑上挑出Nk個點所對應的非下采樣Shearlet系數組成特征向量Fk1。在標記為0的系數中隨機選擇Nk個點對應的非下采樣Shearlet系數組成特征向量Fk2。Nk為最長連續路徑中點的總數。

　　（3）利用PCC對高頻子帶的系數進行分類。應用步驟（2）中所生成的特征向量作為訓練樣本?贅k={Fk1，Fk2}（k=1，2，…，N），送入PCC中，將對應的高頻子帶的所有非下采樣Shearlet系數分成噪聲系數和有意義系數。

　　（4）應用閾值函數進行去噪，傳統的閾值函數分為硬閾值方法和軟閾值方法。

　　硬閾值方法：可以很好地保留信號或者圖像的邊緣等局部特征，但重構所得的信號或圖像可能會出現震蕩、偽吉布斯效應等視覺失真現象。

　　軟閾值方法：估計出來的系數連續性好，去噪效果也平滑很多，但可能會導致邊緣模糊等失真現象，會給信號或圖像的重構帶來不必要的誤差。

　　本文采用全新的閾值函數[13]：

　　經過多級非下采樣剪切波變換后使得含噪圖像的各尺度、各子帶的能量分布不同。本文根據變換的特性及噪聲的分布特點，參照文獻[14]，選取了合適的自適應閾值：

　　①帶噪聲圖像信號的方差可用下式估計：

　　其中，J表示尺度，K表示該尺度上的方向。

　　②可以得到原始圖像信號的標準差估計：

　　③計算每一級尺度參數：

　　其中，j=1，2，J；Lk表示k級子帶長度。

　　④得到自適應于不同尺度、不同方向的閾值：

　　（5）通過上述步驟得到去噪后系數，對去噪后的系數進行非下采樣Shearlet逆變換，得到去噪圖像。

4 仿真實驗結果

　　為了檢驗算法的正確性和有效性，使用標準圖像Lena、Barbara疊加均值為零的高斯白噪聲進行實驗。實驗中與幾種經典去噪算法進行了對比，結果如表1所示。圖2、圖3給出了Lena圖像的主觀視覺去噪結果，并對細節部分進行了局部放大。

　　實驗結果表明，本方案不僅客觀指標（PSNR）比其他方法要好，而且主觀效果也比其他方法好，這說明本算法在去除噪聲的同時很好地保護了邊緣和紋理信息。

5 結論

　　圖像去噪在整個圖像處理過程中占有十分重要的地位。本文基于優秀的多尺度幾何分析工具（非下采樣Shearlet變換）和分類精度更好的臨近支持向量機（PCC），采用自適應閾值確定方法，提出了新的圖像去噪算法。實驗結果表明該方法能夠很好地對噪聲分布進行估計進而去除圖像中的高斯白噪聲，提取圖像的輪廓細節，改善圖像的視覺效果，能夠在提高去噪圖像的PSNR值的同時保護邊緣紋理信息。

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