摘 要： 為消除經典P-M方法在圖像平滑時引起的“階梯”效應，提出了基于自適應參數的高階偏微分方程圖像平滑方法，并且利用Mean Shift的核密度估計方法來確定各點閾值參數。與固定閾值參數的各向異性擴散方法相比，該方法有效地保持了圖像的邊緣等重要信息,能夠更大程度地抑制孤立噪聲,從而得到更高的PSNR值和更好的視覺效果。
關鍵詞： 圖像平滑； 自適應參數； 各向異性擴散； 高階偏微分方程
圖像平滑作為圖像預處理基本步驟之一，為后繼圖像處理帶來很大方便，最常見圖像平滑方法是線性高斯濾波。KOENDERINK指出圖像I0(x,y)與不同尺度的高斯核卷積所得到的平滑圖像等價于傳導系數為常數的熱擴散方程的解，此解屬于各向同性擴散,在平滑同時造成圖像特征的模糊化[1]。PERONA等提出了如下各向異性擴散模型[2]：
就被認為該點處于區域內部并對其進行平滑，否則認為該點處于邊緣對其進行增強。由于P-M各向異性濾波具有選擇性平滑機制，在平滑圖像區域內部同時又保持原始圖像邊緣結構,因此達到了優于線性濾波器的效果。濾波器閾值參數決定濾波器的性能，該值起到一種邊緣檢測作用。“階梯”效應一直是困擾著P-M方法的嚴重問題[4]，這是由它的偏微分方程所決定的，是所有低階非線性擴散方法所固有的。
基于上述問題，在圖像平滑時提出了基于自適應的高階偏微分方程圖像平滑方法,避免了傳統P-M方法圖像平滑方法的缺陷，獲取比較好的視覺效果。
1 高階方法的提出
P-M方法處理結果是分段恒定的[5]，容易導致結果圖像“階梯”狀分布，視覺效果不理想。而高階方法的處理結果是分段線性的,在視覺感知上明顯優于P-M方法。
2 自適應閾值的參數估計
參數k的選取是非線性擴散方法的一個主要難題。如何確定擴散的范圍及擴散的程度，使降噪和強化順利進行的同時，圖像信息又不致因過度平滑而大量損失，是應用時需要解決的關鍵問題。傳統確定參數的方法是人為指定一個固定常數。一般來說，不同圖像需要設置不同參數值，后來也有學者提出自動估計梯度閾值的方法，如提出自動估計梯度閾值的公式Sapiro[4]：
由于圖像不同區域邊緣強度分布不一致，噪聲也不同，而且不同尺度空間邊緣強度和噪聲也不一樣，因此對整幅圖像使用同一個全局固定的參數是不合適的。本文提出了自適應閾值參數選擇方法，使得該算法閾值參數可以完全自動確定，真正實現自適應閾值參數非線性濾波。
上述分析完全是一種理想化假設，對于實際圖像處理存在如下兩大困難：
(1)由于鄰域內所取樣本有限，從樣本直方圖不能直接得到完全規則分布的曲線，很難正確地選取閾值參數k(x)值。
(2)現實圖像中，即使在同一區域內，平均灰度值往往是變化的，而不是嚴格滿足分段常數模型。
為克服以上問題,采取Mean Shift核平滑方法對算子直方圖進行處理，使其盡可能準確地刻畫多峰分布情況。
直方圖平滑效果示例如圖2所示。
為了降低計算復雜度, 在估計參數k(x)時，每隔r/2距離計算一次(r為鄰域半徑)，然后對每個像素點選擇最近鄰的最小值近似為該點閾值參數，并且每一次迭代之后更新參數k(x)值，也可設置每隔若干迭代次數更新一次參數k(x)值，這樣可保證一定精度的前提下，大大提高效率。由于基于直方圖算法復雜度較低，閾值參數估計計算相對于圖像平滑本身計算開銷較小。
3 實驗結果及分析
為了比較自適應參數的高階方法和P-M方法平滑的性能，進行不同實驗并加以分析。
(1)選用若干幅標準圖像進行測試，圖3顯示沒有加入噪聲的Grid圖像平滑效果,從圖中可看出當迭代次數比較多時，P-M方法平滑的部分邊緣明顯被模糊了，而本文方法獲取的效果比較理想。
(2)圖4是對加入噪聲的圖像去噪的實驗結果，圖5給出了對圖4各邊緣的提取結果，其中圖5(b)采用最經典的Canny邊緣提取算子。從圖4和圖5中可看出，P-M方法抑制孤立噪聲點和保持圖像邊緣的效果并不十分理想。圖4(b)和圖5(b)中，平滑后天空和地面存在很多孤立噪聲點，建筑物邊緣也很模糊，圖像中細節信息也有較大程度損失。從圖4(c)和圖5(c)來看，本文方法很好地實現了圖像平滑和保持邊緣的折衷，保證了圖像視覺連續性，其視覺效果明顯優于P-M方法。
對于圖4(b)和圖4(c)而言，在迭代次數相同的情況下，自適應參數高階方法所能達到峰值信噪比比P-M方法所能達到峰值信噪比要高得多，并且平均耗時比P-M方法增加不到20%。表1為對于Cameraman圖自適應參數高階方法與P-M方法運行時間和峰值信噪比的對比結果。
本文首先對經典P-M方程存在兩大問題進行分析，提出了自適應參數高階偏微分方法，有效解決了P-M方法“階梯”效應及其閾值參數選取問題，圖像平滑效果比較好，在耗時相對不長的情況下所能達到的峰值信噪比也P-M方法高。
參考文獻
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