引言
    Reed-Solomon碼首先是由Reed和Solomon兩人于1960年提出來的，簡(jiǎn)稱為RS碼。這是一類具有很強(qiáng)糾錯(cuò)能力的多進(jìn)制BCH碼，既能糾正隨機(jī)錯(cuò)誤，也能糾正突發(fā)錯(cuò)誤，也是一類典型的代數(shù)幾何碼。RS碼一直以來都是國際通信領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一。
    本文以戰(zhàn)術(shù)軍用通信系統(tǒng)的首選碼RS(31，15)碼為例，對(duì)生成多項(xiàng)式進(jìn)行了優(yōu)化，并采用查表法的原理極大地提高了編碼器運(yùn)算數(shù)據(jù)的能力，縮短了運(yùn)算周期，最終利用VHDL語言編譯，在FPGA中實(shí)現(xiàn)，得到了正確的RS編譯碼。

1 RS編碼原理
    能糾正t個(gè)錯(cuò)誤的RS(n，k)碼具有如下特性：
    碼長：n=2m-1符號(hào)或m(2m-1)比特；信息碼元數(shù)：k=n-2t符號(hào)或mk比特；監(jiān)督碼元數(shù)：n-k=2t符號(hào)或m(n-k)比特；最小距離：d=2t+1=n-k-1符號(hào)或m(n-k+1)比特；最小距離為d的本原RS碼的生成多項(xiàng)式一般為：
   
    令信息元多項(xiàng)式為：
   
    監(jiān)督多項(xiàng)式為：
   
    則碼多項(xiàng)式為：
   
    式中：Q(x)是g(x)整除C(x)所得的商式。所有這些原理都與二進(jìn)制循環(huán)碼一樣，不同的僅在于運(yùn)算方法。對(duì)于二進(jìn)制碼，碼多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)只能取0或1，多項(xiàng)式的加減乘除是模二運(yùn)算，是定義在GF(2)域上的多項(xiàng)式?，F(xiàn)在碼多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)可以取q=2m種不同的值，應(yīng)當(dāng)是定義在GF(2m)域上的多項(xiàng)式。

2 生成多項(xiàng)式的優(yōu)化
    以RS(31，15)為例，n=31，k=15，可糾正錯(cuò)誤數(shù)為t=(n-k)／2=8；以為本原多項(xiàng)式，可得到GF(25)上的元素如表1所示。
    一般的生成多項(xiàng)式為：
   
    則碼字多項(xiàng)式以為零點(diǎn)。
    由于注意到：
   


3 RS編碼器的設(shè)計(jì)
    在GF(2m)域上的加法運(yùn)算實(shí)際上就是每位作異或運(yùn)算，由異或門組合而成即可。
    由于優(yōu)化了生成多項(xiàng)式g(x)，這里只需要在ROM中存入的乘法表即可。

    由加法模塊和乘法模塊組成的一級(jí)模二運(yùn)算電路如圖1所示。

    利用ISE9．0仿真軟件得到的運(yùn)算一級(jí)模二運(yùn)算的仿真圖如圖2所示。
   
    生成的一級(jí)模二運(yùn)算模塊如圖3所示。
    依次連接多個(gè)模二運(yùn)算模塊，進(jìn)行一步步模二運(yùn)算，得到余數(shù)多項(xiàng)式的系數(shù)，即為RS校驗(yàn)碼。圖4為當(dāng)信息碼字為M時(shí)的RS編譯結(jié)果。
   
可看到此時(shí)：
   

4 FPGA實(shí)現(xiàn)
    通過RS編碼后的數(shù)據(jù)為5×31的矩陣，形如；
   
    將5行數(shù)據(jù)交織編碼，交織度為I=5，得到(ao bo co do eo a1 b1 c1 d1 e1…a30 b30 c30 d30 e30)的形式，利用示波器從串口讀出，得到波形圖如圖5所示。

5 結(jié)語
    給出的RS編碼器設(shè)計(jì)方法對(duì)生成多項(xiàng)式進(jìn)行了優(yōu)化，使得ROM中需要存入的乘法表大幅減少，模擬模二運(yùn)算的步驟設(shè)計(jì)編碼過程，最終燒入FPGA中，利用示波器采集到了正確的數(shù)據(jù)，證明RS編碼器編碼正確。本文介紹的RS編碼器設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)單，占用資源少。