摘 要： 通過理論分析和仿真實驗，對分數倍采樣率轉換" title="分數倍采樣率轉換">分數倍采樣率轉換過程中的抽取與內插" title="內插">內插的先后順序進行了研究。
關鍵詞： 分數倍采樣率轉換 欠采樣" title="欠采樣">欠采樣 過采樣" title="過采樣">過采樣 運算效率
在多抽樣率信號處理中，分數倍采樣率轉換是一類比較重要的應用，對分數倍采樣率轉換的研究很多[1~4]，L/M倍的抽樣率轉換通過一個L倍內插和M倍抽取的串聯實現。分數倍采樣率轉換必須先內插再抽取才能保證中間處理過程不丟失信息[1]。但先內插再抽取的弊端是濾波器工作在高采樣率下運算效率較低。能否通過先抽取再內插的辦法進行分數倍采樣率轉換呢？本文就是分析分數倍采樣率轉換過程中內插與抽取的先后順序是否可以互換。
設基帶信號" title="基帶信號">基帶信號最高頻率為fs，原始信號采樣率為Nfs，分數倍采樣因子為L/M，則采樣后信號的采樣率為LNfs/M。由奈奎斯特采樣定理可知，只要采樣率大于奈奎斯特頻率，就可以無失真地恢復出原始信號。顯然先內插再抽取的方法不會在中間過程造成基帶信號的丟失；而采用先抽取再內插的方法，則當N/M≥2即奈奎斯特采樣或者過采樣時不會造成基帶信號的丟失，而當N/M<2即欠采樣時，先抽取必定會造成基帶信號的丟失。
1 欠采樣
在欠采樣下進行分數倍抽樣率轉換時，如果先抽取，則不滿足奈奎斯特采樣定理的條件，中間處理過程一定會造成基帶信號的丟失，這樣再內插后丟失的信號仍然得不到恢復，從而造成采樣信號的失真；如果先內插，將采樣率提高，再抽取降采樣，就可以有效地避免基帶信號丟失的現象。因此，在欠采樣下進行分數倍抽樣率轉換，必須先內插再抽取。
2 奈奎斯特采樣或過采樣
奈奎斯特采樣或者過采樣下無論先抽取還是先內插，均滿足奈奎斯特采樣定理，因此進行分數倍抽樣率轉換時即可以先抽取再內插，也可以先內插再抽取。
下面通過仿真實例來說明在過采樣下進行分數倍抽樣率轉換的情況。設原始采樣率48.96MHz，基帶信號最高頻率為4.08MHz，進行2/3倍抽樣率轉換，通帶紋波Rp=0.5dB，阻帶衰減Rs=20dB，通帶上限截止頻率fp=4.08MHz，阻帶下限截止頻率fs=5MHz。
2.1 先抽取再內插
先三倍抽取再兩倍內插的實現框圖如圖1。其中h1(n)為抗混疊濾波器，h2(n)為去鏡像濾波器，可以求得h1(n)的階數為57階，h2(n)的階數為37階。它們的幅頻響應分別示于圖2中。
2.2 先內插再抽取
先兩倍內插再三倍抽取的實現框圖如圖3。其中，h(n)既是抗混疊濾波器，也是去鏡像濾波器，可求得濾波器階數為113階，幅頻響應如圖4。
2.3 運算效率比較
圖5給出了過采樣下原始信號和先抽取再內插以及先內插再抽取后信號的周期圖功率譜。從中可以看出，先抽取再內插的方法與先內插再抽取的方法都實現了2/3倍采樣率轉換。現在再比較一下兩種方法的運算效率。
用RT*表示每秒所需要的乘法次數(MPS)，用NT表示存儲系數和數據所需要的運算量，Ri表示第i級所需要的每秒乘法次數，Ni表示第i級FIR內插濾波器的階數，Fi表示第i級濾波器的采樣率，I表示多級實現時的總級數，單級實現時I=1。由文獻[1]可知：
若濾波器為對稱的，則
利用濾波器的對稱性，先三倍抽取再兩倍內插每秒所需的乘法次數為：
所需的存儲量為:N2=113
因此先三倍抽取再兩倍內插的運算效率比先兩倍內插再三倍抽取的運算效率高。
分數倍采樣率轉換過程中抽取與內插的先后順序不僅決定是否能正確地采樣，還決定著采樣率轉換運算效率的高低。本文通過理論分析和仿真實驗，對這一問題進行了研究。研究結果表明：在欠采樣下，進行分數倍抽樣率轉換必須先內插再抽取；在奈奎斯特采樣率或者過采樣下進行分數倍抽樣率轉換時，從信號保持角度看，先抽取再內插和先內插再抽取均可以實現無失真采樣；但從運算效率角度看，則應該選擇先抽取再內插的方法。
參考文獻
1 (美)Ｒ.Ｅ.克勞切, Ｌ.Ｒ.拉賓納著,酆廣增譯.多抽樣率數字信號處理[M].北京:人民郵電出版社,1988
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4 N. S. Vasanthavada. A Note on the Computational Efficiency of the FIR Multistage Implementations of Fractional Sampling Rate Conversion [J]. IEEE Trans.on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1985; ASSP 33(2):475～477