摘 要: 在分析了經典的Zoom-FFT算法的基礎上，提出了一種改進的自適應Zoom-FFT(AZ-FFT)頻域" title="頻域">頻域細化算法，通過比例因子" title="比例因子">比例因子的自適應取值算法和頻譜調制校正算法，使得AZ-FFT算法運算量減少，滿足了工程應用的實時性要求，且通過仿真驗證了該算法的實用性能。
關鍵詞: 頻域細化 Zoom-FFT 自適應復調制細化 實時
在現代測量、自動控制等領域中，對一個寬帶信號中的部分窄帶信號進行快速頻域細化分析，可以先用FFT(Fast Fourier Transforms)來對信號頻譜進行粗略的估計,獲取需要細化分析的窄帶頻譜范圍；再在該窄帶范圍內進行頻域細化分析,以獲得滿足精度要求的頻譜[1]。
經典方法包括CZT (Chirp Z Transform) 算法、線性調頻Z變換[2～3]、SDFT (Shifted Discrete Fourier Transforms)算法[4]、Zoom FFT算法(包括Yip級聯Zoom FFT、復調制Zoom FFT、相位補償Zoom FFT[5])等。
本文基于傳統Zoom FFT和降采樣數字信號處理的思想,提出了一種改進的自適應Zoom FFT算法,設計了一種能根據細化窄帶帶寬自適應地選擇抽取倍數的降采樣率算法,并改進了傳統的復調制算法,能夠實時得到更精細的細化頻譜。
1 復調制細化分析Zoom FFT的基本原理[6]
復調制細化是將時域信號與單位復指數相乘,將實信號變為復信號,根據傅立葉變換" title="傅立葉變換">傅立葉變換的頻移定理,信號頻譜產生平移,把感興趣頻段的中心頻率移到相應頻譜的原點處,再通過低通濾波及重采樣后，做FFT變換后,得到更高的分辨率。其數據處理流程如圖1所示。
模擬信號x(t)經抗混疊濾波、A/D轉換后(采樣頻率" title="采樣頻率">采樣頻率為fs)，得到數字序列x(n)，其離散傅立葉變換(DFT)為：
則DFT的頻率分辨率" title="頻率分辨率">頻率分辨率為：△f=fs/N (2)
即Y(k)相當于X(k)左移L0點(L0=f0/△f),將f0移到零頻。為了得到Y(k)零點附近的一部分細化頻譜，可采用降采樣的方法把重采樣頻率降到fD=fs/D，其中,D為降采樣比例因子(D≥1)。為了保證重采樣不產生頻混，應先進行數字低通濾波，截止頻率應為fD/2，此時濾波器的輸出為：
Z(k)=Y(k)H(k) (5)
式中,H(k)為理想低通濾波器的頻率響應，Z(k)為理想低通濾波器輸出序列z(n)的傅立葉變換，其頻率范圍為0～fD/2。
以比例因子D對z(n)進行重采樣，得到時間序列：
g(m)=z(Dm) m=0，1，…M-1 (6)
對g(m)做M點的DFT，其頻率分辨率為：
△fD=fD/M=fs/DM。當M=N時，△fD=fs/DN=△f/D，即細化后的頻率分辨率比直接DFT的頻率分辨率提高D倍。其物理含義如圖2所示。
2 改進的自適應復調制細化分析(AZ-FFT)算法
從前面的分析可以看出傳統的ZFFT存在如下問題：
(1)若以最大比例因子用上述方法進行計算，對信號復調制時,所需要調制的序列點數至少是DN點,即對DN點數據分別乘以單位復指數
。可見隨著細化倍數的增加，計算量將顯著增大，導致細化時間的劇增。
(2)信號經過復調制、數字濾波和降采樣后，將信號頻譜從f0搬移到零頻，使信號頻譜在正頻域和負頻域不對稱，從而細化后信號頻譜與原始頻譜不一致，導致頻率分析誤差較大。
針對上述兩個問題，本文提出了相應的解決算法。
(1)比例因子D取值的自適應算法[7]
對序列x(n)做整數D倍抽取時,原序列的采樣率降低了D倍,而抽取序列g(n)的頻譜G(ejω)為原始序列的頻譜X(ejω)經頻移和D倍展寬后的D個頻譜的疊加和:
流程圖中的循環必定收斂于D≥1，而且循環一般能很早就收斂于較大的值。最后得到一系列的抽取倍數，選取適當的D值，D值越大,則細化的程度越大，但數據量也越大，需折衷處理。
(2)頻譜調制校正算法
傳統的ZFFT將感興趣的一段頻譜調制到以零頻為中心、±B/2(B=f2-f1)的范圍內，然后再進行降采樣、FFT處理。但是由于對解析信號做FFT分析得到的頻譜有效分布范圍為(0，fs)，如果按照圖2中的調制方法，降采樣后的FFT分析的譜圖如圖4(a)所示，其中負頻率的譜線將折疊到fh～fD之間，發生錯位時，需要做進一步的校正處理。如果在ZFFT做復調制時不按照
來調制，而是按照
調制，即不是將f0搬移到零頻，而是將f1搬移到零頻，然后再做降采樣、FFT處理，則分析的結果如圖4(b)所示，譜線位置不會發生變化。
3 計算機仿真分析
設有一個加性高斯白噪信道中的低通模擬信號,帶寬為200kHz，采樣頻率為400kHz，其中某個時段在150.2kHz、150.5kHz、151kHz、152.25kHz、153.375kHz處有單頻信號存在。
先對整個信號在200kHz帶寬內進行512點FFT，粗略找出感興趣的約4kHz的窄帶(如圖5所示)，并求出不混疊的整數倍抽取倍數D，再對采樣信號的150～154kHz范圍內的頻譜用自適應AZFFT算法進行細化。從圖6和圖7可以看出，采用改進的AZFFT算法細化后的信號頻譜更加精確。
參考文獻
1 Runtz K J, Hack D. A multistage DFT FFT CZT approach for accurate efficient analysis of sparsely distributed spectra [C]. Proceedings of 2002 IEEE Candian conference on elec-trical &computing engineering, 2002:127~132
2 Rabiner L R , Schafer R W, Rader C M. The chirp Z transform algorithm[J]. IEEE trans. on audio and electroa-coustics, 1969;17(2):86~92
3 應啟珩,馮一云,竇維蓓. 離散時間信號分析和處理[M]. 北京:清華大學出版社,2001:1155~1591
4 李 勇,黃遵熹,俞卞章. 基于移位離散付立葉變換的線性頻率估計方法[J]. 西北工業大學學報, 1995;13(3):414~4171
5 Hoyer E A , Stork R F.The Zoom FFT using complex mod-ulation[J]. IEEE Proceedings of ICASP, 1977
6 郭貴虎，胡新生.基于改進Zoom-FFT的信號檢測算法研究[J].無線電工程,2003；(5):26~8
7 郭 瑜，湯寶平，紀躍波等. 基于解析信號和帶通濾波的頻率細化分析[J]. 重慶大學學報,2001；(7):17~21