0 引言
    VTOL(Vertical Take-Off and Landing)飛行器是能夠垂直起降的典型欠驅動系統，因具有對起降環境依賴小、機動性強等特點，被廣泛應用于軍事和民用領域，其控制研究引發了國內外研究人員的廣泛關注[1-3]。VTOL飛行器屬于欠驅動系統，具有高度非線性、結構復雜、控制輸入受限等特點，這給其控制研究帶來了極大的困難[4]。已有大量文獻對其進行了深入研究，文獻[5]-文獻[7]在忽略飛行器滾動控制輸入和橫向加速度間耦合關系的情況下，采用近似輸入-輸出線性化方法來研究系統的穩定性以及輸出跟蹤問題。文獻[8]設計了VTOL全局鎮定控制律。文獻[9]研究了VTOL姿態穩定控制問題。文獻[10]在考慮耦合存在的前提下，采用李雅普諾夫直接法設計了飛行器漸近穩定跟蹤參考軌跡的控制器。
    目前，VTOL飛行器的跟蹤問題仍然是控制領域的研究熱點。作為一種具有完全魯棒性的變結構控制方法，滑模控制具有響應迅速、對系統參數變化和外界擾動不敏感、無需系統在線辨識、物理實現簡單等優點[11]。因此可以用來控制VTOL飛行器。
    本文對具有3個自由度、2個控制輸入的VTOL飛行器的輸出跟蹤問題進行了研究，提出了一種分層滑模控制方案，可以實現飛行器在考慮輸入耦合情況下的軌跡跟蹤。
1 VTOL飛行器動力學模型
    根據文獻[5]，VTOL飛行器動力學模型表示為：

2 分層滑模控制器設計
    本文解決的是欠驅動系統的輸出跟蹤問題，模型有3個輸出、2個輸入，對于跟蹤問題，只能保證位置信號跟蹤指令，定義飛行器的橫、縱坐標的期望軌跡指令為x_1d和y_1d，控制目標為：系統(1)的x₁和y₁跟蹤指令信號x_1d和y_1d，滾轉角θ鎮定。通過對系統(2)的控制律進行設計，可以完成控制目標。定義z₁、z₂、z₃、z₄的跟蹤指令信號分別為z_1d、z_2d、z_3d、z_4d，跟蹤誤差為：e₁=z₁-z_1d，e₂=z₂-z_2d，e₃=z₃-z_3d，e₄=z₄-z_4d，則有。
    對于給定的指令信號z_1d、z_2d、z_3d、z_4d，通過設計合適的控制律h使得e₁→0，e₂→0，e₃→0，e₄→0，系統就能夠完成跟蹤任務。
    對兩個子系統分別定義滑模面：
    s₁=c₁e₁+e₂， s₂=c₂ e₃+e₄                       (5)
其中c1>0，c2>0。
    構造系統的總滑模面為：
    S=c₂(e₃-z)+e₄                                      (6)
    這里z為中間變量，是s1的函數，定義為：

3 系統穩定性分析
    本節用Lyapunov穩定性定理、Barbalat引理分別證明了各個滑模面的穩定性及誤差子系統的漸近穩定性。
    Barbalat引理^[12]：如果，則。
3.1 系統總滑模面穩定性
    定理1 對于系統(2)，按式(5)和式(6)構造系統的滑模面，采用控制律式(13)，則系統的總滑模面S是漸近穩定的。

3.2 子系統滑模面穩定性
    定理2 對于系統(2)，按式(5)和式(6)構造系統的滑模面，采用控制律(13)，則兩個子系統的滑模面s1和s2是漸近穩定的。
    證明：定義中間變量：
  

4 仿真結果
   

圖1  飛行器質心的位置x1(t)跟蹤

圖2  飛行器質心的位置y1(t)跟蹤

圖3  飛行器質心的速度跟蹤

圖4  飛行器質心的速度跟蹤

圖5  飛行器滾動角度θ(t)的鎮定

圖6  飛行器底部推力控制輸入u₁

圖7  飛行器滾動控制輸入u₂

    圖1～圖2表明，在控制器作用下，飛行器實際位置軌跡快速、穩定地收斂于期望位置軌跡。由圖3～圖4可見，飛行器實際速度軌跡快速、穩定地收斂于期望速度軌跡。圖5表明，滾轉角快速收斂到?茲=0。圖6和圖7為控制輸入曲線，可以看出控制器快速、平穩地漸近收斂，控制效果很好。仿真結果驗證了所提出的滑模控制器的有效性及前面給出的穩定性分析的正確性。
5 結論
    對于VTOL飛行器的輸出跟蹤問題，本文提出了一種分層滑模控制方案，可以實現飛行器在考慮輸入耦合情況下的軌跡跟蹤，并利用李亞普諾夫穩定性理論和Barbalat引理詳細證明了各個滑模面的漸近穩定性和誤差系統的全局漸近穩定性。與已有的控制方法相比，該方法提出的控制器設計簡單、響應速度快，對系統參數變化和外界干擾具有魯棒性，能夠實現對給定軌跡的漸近穩定跟蹤。同時，給出的仿真結果進一步驗證了這種滑模控制方法的有效性和可行性。
參考文獻
[1] WANG X H，LIU J K，CAI K Y.Tracking control for a velocity-sensorless VTOL aircraft with delayed outputs[J].Automatica，2009，45(12)：2876-2882.
[2] ROBERTS A，TAYEBI A.A new position regulation strategy for VTOL UAVs using IMU and GPS measurements[J].Automatica，2013，49(2)：434-440.
[3] ABDESSAMEUD  A，TAYEBI A.Global trajectory tracking control of VTOL UAVs without linear velocity measurement[J].Automatica，2010，46(6)：1053-1059.
[4] ROBERTS A，TAYEBI A.Adaptive  position  tracking  of  VTOL UAVs[J].IEEE Transactions on Robotics，2011，27(1)：129-142.
[5] HAUSER J，SASTRY S，MEYER G.Nonlinear control design for slightly non-minimum phase systems[J].Automatica (S0005-1098)，1992，28(4)：665-679.
[6] MARTIN P,DEVASIA S,PADEN B.A different look at output tracking：control of a VTOL aircraft[J].Automatica(S0005-1098)，1996，32(1)：101-107.
[7] HUANG C S，YUAN K.Output tracking of a non-linear non-minimum phase PVTOL aircraft based on non-linear state feedback[J].International Journal of Control(S0020-7179)，2002，75(6)：466-473.
[8] OLFATI-SABER R.Global configuration for the VTOL aircraft with strong input coupling[J].IEEE Transactions on Automatic Control(S0018-9286)，2002，47(11)：1949-1952.
[9] TAYEBI A，MCGILVRAY S,Attitude stabilization of a VTOL quadrotor aircraft[J].IEEE Trans.Control Systems Technology，2006，14(3)：562-571.
[10] DO K D，JIANG Z P，PAN J.On global tracking control of a VTOL aircraft without velocity measurements[J].IEEE Transactions on Automatic Control(S0018-9286)，2003，48 (12)：2212-2217.
[11] HUNG J Y，GAO W，HUNG J C.Variable structure control：a survey[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics，1993，40(1)：2-22.
[12] TAO G.A simple alternative to the barbalat lemma[J].IEEE Transactions on Automatic Control，1997，42(5)：698.