楊義先，鈕心忻
（北京郵電大學(xué) 信息安全中心， 北京 100876）
0引言
如果說安全的核心是對抗，那么，在對抗的兩個主角（攻方與守方）中，攻方（黑客）又是第一主角，因?yàn)椋t客（守方）是因黑客（攻方）而誕生的。所以，很有必要對黑客，特別是他的攻擊策略，進(jìn)行更深入的研究。
廣義地說，系統(tǒng)（或組織）的破壞者，都統(tǒng)稱為“黑客”。他（它）們以擾亂既有秩序?yàn)槟康摹Ｒ虼耍┘?xì)胞、病菌、敵對勢力、災(zāi)難、間諜等都是黑客。但是，為了聚焦，本文以常言的“網(wǎng)絡(luò)黑客”為主要研究對象，雖然這里的結(jié)果和研究方法其實(shí)適用于所有黑客。
黑客的攻擊肯定是有代價的，這種代價可能是經(jīng)濟(jì)代價、政治代價或時間代價。同樣，黑客想要達(dá)到的目標(biāo)也可能是經(jīng)濟(jì)目標(biāo)、政治目標(biāo)或時間目標(biāo)。因此，至少可以粗略地將黑客分為經(jīng)濟(jì)黑客、政治黑客和時間黑客。
經(jīng)濟(jì)黑客：只關(guān)注自己能否獲利，并不在乎是否傷及對方。有時，自己可以承受適當(dāng)?shù)慕?jīng)濟(jì)代價，但是，整體上要贏利。賠本的買賣是不做的，他們肯定不是“活雷鋒”。因此，經(jīng)濟(jì)黑客的目標(biāo)就是：以最小的開銷來攻擊系統(tǒng)，并獲得最大的收益。只要準(zhǔn)備就緒，經(jīng)濟(jì)黑客隨時可發(fā)動進(jìn)攻。
政治黑客：不計(jì)代價，一定要傷及對方要害，甚至有時還有更明確的攻擊目標(biāo)，不達(dá)目的不罷休。他們隨時精確瞄準(zhǔn)目標(biāo)，但是只在關(guān)鍵時刻才“扣動板機(jī)”。最終成敗取決于若干偶然因素，比如，目標(biāo)突然移動（紅客突然出新招）、準(zhǔn)備不充分（對紅客的防御情況了解不夠）或突然刮來一陣風(fēng)（系統(tǒng)無意中的變化）等。
時間黑客：希望在最短的時間內(nèi)攻破紅客的防線，而且，使被攻擊系統(tǒng)的恢復(fù)時間盡可能地長。
從純理論角度來看，其實(shí)沒必要去區(qū)分上述三種黑客。下面為了形象計(jì)，也為了量化計(jì)，我們重點(diǎn)考慮經(jīng)濟(jì)黑客，即，黑客想以最小的經(jīng)濟(jì)開銷來獲取最大的經(jīng)濟(jì)利益。
1黑客的靜態(tài)描述
先講一個故事：我是一個“臭手”，面向墻壁射擊。雖然，我命中墻上任一特定點(diǎn)的概率都為零，但是，只要板機(jī)一響，我一定會命中墻上某點(diǎn)，而這本來是一個“概率為零”的事件。因此，“我總會命中墻上某一點(diǎn)”這個概率為1的事件，就可以由許多“概率為零的事件（命中墻上某一指定點(diǎn)）”的集合構(gòu)成。
再將上述故事改編成“有限和”情況：我先在墻上畫滿（有限個）馬賽克格子，那么，“我總會命中某一格子”這個概率為1的事件，便可以由有限個“我命中任何指定格子”這些“概率很小，幾乎為零的事件”的集合構(gòu)成。或者，更準(zhǔn)確地說，假設(shè)墻上共有n個馬賽克格子，那么，我的槍法就可以用隨機(jī)變量X來完整地描述：如果我擊中第i(1≤i≤n)個格子的事件（記為X=i）的概率為pi，那么，p1+p2+…+pn=1。
現(xiàn)在，讓黑客代替“我”，讓（有限）系統(tǒng)代替那面墻。
安全界有一句老話，也許是重復(fù)率最高的話，“安全是相對的，不安全才是絕對的”。可是，過去大家僅將這句話當(dāng)成“口頭禪”，而沒有意識到它其實(shí)是一個很重要的公理。
安全公理：對任何（有限）系統(tǒng)來說，安全都是相對的，不安全才是絕對的，即，“系統(tǒng)不安全，總可被黑客攻破”這個事件的概率為1。
根據(jù)該安全公理可知，雖然黑客命中“某一點(diǎn)”（攻破系統(tǒng)的指定部分）的概率幾乎為零，但是，黑客“擊中墻”（最終攻破系統(tǒng)）是肯定的，概率為1。
黑客可以有至少兩種方法在“墻上”畫馬賽克格子：
畫馬賽克格子的第一種辦法：鎖定目標(biāo)，黑客從自己的安全角度出發(fā)，畫出系統(tǒng)的安全經(jīng)絡(luò)圖［1］，然后，以每個“元誘因”（或“穴位”）為一個“馬賽克格子”。假如，系統(tǒng)的安全經(jīng)絡(luò)圖中共有n個“元誘因”，那么，黑客的（靜態(tài)）攻擊能力就可以用隨機(jī)變量X來完整地描述：如果黑客摧毀第i(1≤i≤n)個“元誘因”，記為X=i，其概率為pi，那么，p1+p2+…+pn=1。
這種“元誘因馬賽克畫法”的根據(jù)是：系統(tǒng)出現(xiàn)不安全問題的充分必要條件是某個（或某些）“元誘因”不安全［1］。
“元誘因馬賽克”的缺點(diǎn)是參數(shù)體系較復(fù)雜，但是，它的優(yōu)點(diǎn)很多，比如，可以同時適用于多目標(biāo)攻擊，安全經(jīng)絡(luò)可以長期積累、永遠(yuǎn)傳承等。根據(jù)安全經(jīng)絡(luò)圖可知，“安全”同時具有“波”和“粒子”的雙重性質(zhì)，或者說，具有“確定性”和“概率性”兩種性質(zhì)。更具體地說，任何不安全事件的“元誘因”的“確定性”更濃，而“素誘因”和“素事件”的“概率性”更濃。充分認(rèn)識安全的波粒二象性，將有助于深刻理解安全的實(shí)質(zhì)，有助于理解《安全通論》的研究方法和思路。
畫馬賽克格子的第二種辦法：經(jīng)過長期準(zhǔn)備和反復(fù)測試，黑客共掌握了全部n種可能攻破系統(tǒng)的方法，于是，黑客的攻擊能力可以用隨機(jī)變量X完整地描述為：當(dāng)黑客用第i種方法攻破系統(tǒng)，記為X=i(1≤i≤n)，其概率為pi，這里，p1+p2+…+pn=1，0<pi<1(1≤i≤n)。
說明：能夠畫出這“第二種馬賽克格子”的黑客肯定是存在的，比如，長期以“安全檢測人員”這種紅客身份掩護(hù)著的臥底，就是這類黑客的代表。雖然，必須承認(rèn)，要想建立完整的武器庫，即，掌握攻破系統(tǒng)的全部攻擊方法，或完整地描述上述隨機(jī)變量X，確實(shí)是非常困難的，但是，從理論上看是可行的。
當(dāng)然，也許還有其他方法來畫“馬賽克格子”，不過它們的實(shí)質(zhì)都是一樣的，即，黑客可以靜態(tài)地用一個離散隨機(jī)變量X來描述，這里X可能取值為{1，2，…，n}，概率Pr(X=i)= pi，并且p1+p2+…+pn=1。
2黑客的動態(tài)描述
黑客的動態(tài)行為千變?nèi)f化，首先必須清理場景，否則，根本無法下手。
為使相關(guān)解釋更形象，本節(jié)采用上述第一種“馬賽克格子畫法”，即，黑客是一個離散隨機(jī)變量，他攻破第i個“元誘因”（記為X=i，1≤i≤n)的概率為pi，這里，p1+p2+…+pn=1，0<pi<1，1≤i≤n。特別強(qiáng)調(diào)，其實(shí)下面的內(nèi)容適用于包括第二種方法在內(nèi)的所有“馬賽克格子畫法”。
任何攻擊都是有代價的，并且，如果黑客的技術(shù)已經(jīng)足夠好，那么，整體上來說是“投入越多，收益越多”。
設(shè)黑客攻破第i個“元誘因”的“投入產(chǎn)出比”為di(1≤i≤n)，即，若為攻擊第i個“元誘因”黑客投入了1元錢，那么，一旦攻擊成功（其概率為pi）后，黑客將獲得di元的收入；當(dāng)然，如果攻擊失敗，那么，黑客的這1塊錢就全賠了。
根據(jù)文獻(xiàn)［1］可知，任何一個“元誘因”被攻破后，系統(tǒng)也就被攻破了，不再安全了。因此，為了盡量避免被紅客發(fā)現(xiàn)，盡量少留“作案痕跡”，我們假定：在攻擊過程中，黑客只要發(fā)現(xiàn)有一個“元誘因”被攻破了，那么，他就立即停止本次攻擊，哪怕繼續(xù)攻破其他“元誘因”還可以獲得額外的收入，哪怕對其他“元誘因”的“攻擊投資”被浪費(fèi)。
設(shè)黑客共有M元用于攻擊的“種子資金”，如果他把這些資金全部投入到攻擊他認(rèn)為最有可能成功的某個“元誘因”（比如最大的那個pi），那么，假如黑客最終成功地攻破了第i個“元誘因”（其概率為pi），則此時黑客的資金總數(shù)就變成Mdi，但是，假如黑客攻擊失敗（其概率為1-pi），則他的資金總數(shù)就瞬間變成了零。可見，從經(jīng)濟(jì)上來說，黑客的這種“孤注一擲”戰(zhàn)術(shù)的風(fēng)險太大，不宜采用。
為增加抗風(fēng)險能力，黑客改變戰(zhàn)術(shù)，將他的全部資金分成n部分，b1、b2、…、bn，其中bi是用于攻擊第i個“元誘因”的資金在總資金中所占的比例數(shù)，于是，∑ni=1bi=1，這里0≤bi≤1。如果在本次攻擊中，第i個“元誘因”首先被攻破（其概率為pi），那么，本次攻擊馬上停止，此時，黑客的總資產(chǎn)變?yōu)镸bidi，同時，投入到攻擊其他“元誘因”的資金都白費(fèi)了。由于∑ni=1pi=1，即，肯定有某個“元誘因”會被首先攻破，所以，只要每個bi>0，那么，本次攻擊結(jié)束后，黑客的總資產(chǎn)肯定不會變成零，因此，其抗風(fēng)險能力確實(shí)增強(qiáng)了。
我們還假定：為了躲開紅客的對抗，黑客選擇紅客不在場時才發(fā)起攻擊，比如，黑客每天晚上對目標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行（一次）攻擊。當(dāng)然，這里還有一個暗含的假設(shè)，即，黑客每天晚上都能夠成功地把系統(tǒng)攻破一次，其實(shí)，這個假設(shè)也是合理的，因?yàn)椋绻?jīng)過K個晚上的艱苦攻擊才能攻破系統(tǒng)，那么，把這K天壓縮成“一晚”就行了。
單看某一天的情況，很難對黑客的攻擊戰(zhàn)術(shù)提出任何建議。不過，如果假定黑客連續(xù)m天晚上對目標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行“每日一次”的攻擊，那么，確實(shí)存在某種攻擊戰(zhàn)術(shù)，能使得黑客的盈利情況在某種意義上達(dá)到最佳。
為簡化下足標(biāo)，本文對bi和b(i)交替使用，不加區(qū)別。
如果黑客每天晚上都對他的全部資金按相同的分配比例b=(b1,b2,…,bn)來對系統(tǒng)的各“元誘因”進(jìn)行攻擊。那么，m個晚上之后，黑客的資產(chǎn)就變?yōu)椋?/p>
這里S(X)=b(X)d(X)，Xi是1~n之間的某個正整數(shù)，它表示在第i天晚上，被（首先）攻破的那個“元誘因”的編號，所以，X1、X2、…、Xm是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，設(shè)該分布是p(x)，于是有如下定理：
定理1若每天晚上黑客都將其全部資金按比例b=(b1,b2,…,bn)分配，來對系統(tǒng)的各“元誘因”進(jìn)行攻擊，那么，m天之后，黑客的資產(chǎn)就變?yōu)椋?/p>
這里
稱為“雙倍率”。
證明：由于獨(dú)立隨機(jī)變量的函數(shù)也是獨(dú)立的，所以，
也是獨(dú)立同分布的，由弱大數(shù)定律，可得：
于是，
證畢。
由于黑客的資產(chǎn)按照2mw(b,p)的方式增長（這也是把W(b,p)稱為“雙倍率”的根據(jù)），因此，只需要尋找某種資金分配戰(zhàn)術(shù)b=(b1,b2,…,bn)，使得雙倍率W(b,p)最大即可。
定義1如果某種戰(zhàn)術(shù)分配b，使得雙倍率W(b,p)達(dá)到最大值W*(p)，那么，就稱該值為最優(yōu)雙倍率，即：
這里的最大值max是針對所有可能的滿足
而取的。
雙倍率W(b,p)作為b的函數(shù)，在約束條件∑ni=1bi=1下，求其最大值。可以寫出如下拉格朗日乘子函數(shù)并且改變對數(shù)的基底（這不影響最大化b），則有：
關(guān)于bi求導(dǎo)得到：
為了求得最大值，令偏導(dǎo)數(shù)為0，從而得出：
將它們帶入約束條件
可得到λ=-1和bi=pi。從而可知，b=p為函數(shù)J(b)的駐點(diǎn)。
定理2最優(yōu)化雙倍率
并且，按比例
分配攻擊資金的戰(zhàn)術(shù)進(jìn)行攻擊，便可以達(dá)到該最大值。這里H(p)是描述靜態(tài)黑客的那個隨機(jī)變量的熵，即，
證明：將雙倍率W(b,p)重新改寫，使得容易看出何時取最大值：
這里D(p|b)是隨機(jī)變量p和b的相對熵［7］。而當(dāng)b=p時，可直接驗(yàn)證上述等式成立。證畢。
從定理2可知：對于一個可用離散隨機(jī)變量X（Pr(X=i)= pi，并且，p1+p2+…+pn=1）來靜態(tài)描述的黑客，他的動態(tài)最佳攻擊戰(zhàn)術(shù)也是（p1,p2,…,pn），即，將攻擊資金按比例（p1,p2,…,pn）分配后，可得到最多的“黑產(chǎn)收入”。
下面再對定理2進(jìn)行一些更細(xì)致的討論，有：
定理3如果攻破每個“元誘因”的投入產(chǎn)出比是相同的，即，各個di彼此相等，都等于a，那么此時的最優(yōu)化雙倍率W*(p)=loga-H(p)，即，最佳雙倍率與熵之和為常數(shù)，并且，若按比例b*=p分配攻擊資金，那么，此種戰(zhàn)術(shù)的攻擊業(yè)績便可達(dá)到最大值。此時，第m天之后，黑客的財富變成
而且，黑客的熵若減少1比特，那么，他的財富就會翻一倍！
如果并不知道每個di的具體值，而只知道∑1/di=1，此時，記ri=1/di,于是，雙倍率可以重新寫為：
由此可見雙倍率與相對熵之間存在著非常密切的關(guān)系。
由于黑客每天晚上都要攻擊系統(tǒng)，他一定會總結(jié)一些經(jīng)驗(yàn)來提高攻擊效果。更準(zhǔn)確地說，可以假設(shè)黑客知道了攻破系統(tǒng)的某種邊信息Y，它也是一個隨機(jī)變量。
設(shè)X∈{1,2,…,n}為第X個“元誘因”，攻破它的概率為p(x)，而攻擊它的投入產(chǎn)出比為d(x)。設(shè)（X，Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為p(x,y)。用b(x|y)≥0，∑xb(x|y)=1記為已知邊信息Y的條件下，黑客對攻擊資金的分配比例。此處b(x|y)理解為：當(dāng)?shù)弥畔的條件下，用來攻擊第x個“元誘因”的資金比例。對照前面的記號，將b(x)≥0，
表示為無條件下，黑客對攻擊資金的分配比例。
設(shè)無條件雙倍率和條件雙倍率分別為：
對于獨(dú)立同分布的“攻擊元誘因”序列(Xi,Yi)，可以看到：當(dāng)具有邊信息Y時，黑客的相對收益增長率為2mw(X|Y)；當(dāng)黑客無邊信息時，他的相對收益增長率為2mw(X)。
定理4由于獲得攻擊“元誘因”X的邊信息Y，而引起的雙倍率增量ΔW滿足ΔW=I（X；Y）。這里I（X；Y）是隨機(jī)變量X和Y的互信息。
證明：在有邊信息的條件下，按照條件比例分配攻擊資金，即，b*(x|y)=p(x|y)，那么關(guān)于邊信息Y的條件雙倍率W(X|Y)可以達(dá)到最大值。于是：
當(dāng)無邊信息時，最優(yōu)雙倍率為：
從而，由于邊信息Y的存在，而導(dǎo)致的雙倍率的增量為：
證畢。
此處雙倍率的增量正好是邊信息Y與“元誘因”X之間的互信息。因此，如果邊信息Y與“元誘因”X相互獨(dú)立，那么，雙倍率的增量就為0。
設(shè)Xk是黑客第k天攻破的“元誘因”的序號，假如各{Xk}之間不是獨(dú)立的，又假設(shè)每個dk彼此相同，都等于a。于是，黑客根據(jù)隨機(jī)過程{Xk}來決定第（k+1）天的最佳攻擊資金分配方案（即最佳雙倍率）為：
這里的最大值max是針對所有滿足如下條件的邊信息攻擊資金分配方案而取的：
而且，該最優(yōu)雙倍率可以在
時達(dá)到。
第m天晚上的攻擊結(jié)束后，黑客的總資產(chǎn)變成:
并且，其增長率的指數(shù)為:
這里［H(X1,X2,…,Xm)］/m是黑客m天攻擊的平均熵。對于熵率為H(χ)的平衡隨機(jī)過程，對上述增長率指數(shù)公式的兩邊取極限，可得:
這再一次說明，熵率與雙倍率之和為常數(shù)。
3結(jié)束語
文獻(xiàn)［1］~［6］奠定了《安全通論》的兩個重要基石：安全經(jīng)絡(luò)、安全攻防。本文開始，我們將努力奠定《安全通論》的第三塊重要基石：黑客。
沒有黑客就沒有安全問題，也更不需要《安全通論》。可惜，黑客不但有，還越來越多，而且其外在表現(xiàn)形式還千奇百怪，因此，有必要專門對黑客進(jìn)行系統(tǒng)深入的研究。
本文雖然徹底解決了黑客的靜態(tài)描述問題，即，黑客其實(shí)就是一個隨機(jī)變量X，它（他）的破壞力由X的概率分布函數(shù)F(x)(或概率密度函數(shù)p(x))來決定。但是，關(guān)于黑客的動態(tài)描述問題，還遠(yuǎn)未解決，本文只是在若干假定之下，給出了黑客攻擊的最佳戰(zhàn)術(shù)。歡迎有興趣的讀者來研究黑客的其他攻擊行為的最佳戰(zhàn)術(shù)。
參考文獻(xiàn)
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［3］ 楊義先，鈕心忻.安全通論（3）——攻防篇之“非盲對抗”之“石頭剪刀布”［J］.微型機(jī)與應(yīng)用，2016，35（17）：1 3.
［4］ 楊義先，鈕心忻.安全通論（4）——攻防篇之“非盲對抗”之“童趣游戲”［J］.微型機(jī)與應(yīng)用，2016，35（18）：3 5,9.
［5］ 楊義先，鈕心忻.安全通論（5）——攻防篇之“非盲對抗”之“勸酒令”［J］.微型機(jī)與應(yīng)用，2016，35（19）：2 6.
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