王蔚
　　（南京郵電大學 自動化學院，江蘇 南京 210000）

       摘要：該文主要是利用牽制控制方法對一類具有時延性質的復雜網絡進行同步控制。該方法不同于最早的全局控制，僅是對網絡中的部分節點進行控制。將這些節點的輸出量的差值作為控制器從而達到等同于全局控制的效果。同時根據最新的網絡結構可控原理計算出牽制控制所需要的最少節點數目，繼而通過設定合適的Lyapunov函數，并基于穩定性和線性矩陣不等式等理論得出滿足要求的控制器設計準則。最后，采用小世界模型進行仿真，進一步驗證了結論的正確性。
　　關鍵詞：復雜網絡；牽制控制；狀態延時；最大匹配　　

0引言
　　復雜網絡幾乎隨處可見，如萬維網、互聯網、無線通訊網絡、電力網絡等。這些網絡都與人們的生活息息相關，對這些網絡進行研究不但會促進某些科學分支的發展，還會極大地改變人類的生活方式。因此復雜網絡的研究尤為重要。其中，網絡同步是復雜網絡研究中最重要的一個分支。復雜網絡的同步問題可以分為內部同步和外部同步。內部同步是指網絡中所有節點最終都收斂于同一個平衡點；外部同步是指不同網絡間達到的一種平衡狀態［12］。
　　最早關于復雜網絡的研究多是基于理想狀態下進行的。如今，復雜網絡在建模控制及優化時，通常會考慮一些不確定因素，如存在時延。例如，參考文獻［3］研究了兩類時延復雜動態網絡的同步問題，其中一類網絡中每個節點的狀態具有不同時延，另一類網絡中節點不僅狀態具有不同時延，每個節點本身的時延也不同。針對這兩類網絡，利用矩陣測度理論給出了網絡同步判據。參考文獻［4］考慮在噪聲條件下，研究具有不同拓撲結構的時延復雜動態網絡的外部同步問題，并采用自適應方法設計控制器。上述這些文獻研究的時延復雜網絡都是連續型復雜網絡，而現實生活中更多的網絡是離散型網絡，如社會中的人際網絡、生物學中的細胞神經網絡以及工程應用中的電力網絡等。因此研究離散型的復雜網絡更具有現實意義。本文主要研究關于離散型時延復雜網絡的外部同步控制［56］。
　　最早對網絡控制的方法是全局控制，就是對每一個網絡節點都施加控制器。但由于實際網絡中的節點個數較多，若對每個節點都施加控制會使成本增高，因此通常只是控制部分有利的節點，進而達到對整個網絡的控制。這就是目前研究較多的控制方法——牽制控制［7］。牽制控制同樣分為內部牽制和外部牽制控制。本文主要利用牽制控制使所研究的復雜網絡達到外部同步。
　　參考文獻［711］都是對牽制控制的研究，多是基于兩個基本問題：一是可行性問題，即僅僅控制少部分節點能否達到網絡穩定同步；二是有效性問題，即選取哪些節點來進行控制。參考文獻［78］提出了牽制控制的策略，即對網絡中的一小部分節點進行線性反饋控制，使網絡所有的節點達到同步狀態。參考文獻［9］利用一個節點來牽制控制整個網絡；參考文獻［10］利用自適應的方法來牽制整個網絡，自適應牽制的方法克服了預估反饋增益的問題。上述這些文獻研究的復雜網絡基本都是在理想情況下的連續型復雜網絡，具有一定的局限性。
　　在分析并結合上述這些文獻的基礎上，本文構建出一種更為合理的離散型時延復雜網絡，并利用Poission過程來描述耦合時延。利用Lyapunov穩定性理論，同時結合隨機分析法，給出了離散型復雜網絡在存在耦合時延時控制器設計準則。最后，以包含20個節點的離散型復雜網絡為例，進行數值仿真，驗證本文所提出的控制設計的準確性。
1問題描述
　　假設一個具有時變時延性質的復雜動態網絡系統的數學表達式如下：
　　

　　其中,i=1,2,3,...,N,節點i具有n個狀態：xi(k)=(xi1(k),xi2(k),...,xin(k))T, f(xi(k))=Aixi(k),Ai∈Rn×n,A=diag(A1,A2,A3,...,AN),Γ∈Rn×n是一個內部耦合矩陣。W=(wij)∈RN×N,表示網絡的拓撲結構，其中wij0(i≠j),但不能全部為0。∑Nm=1wkm=∑Nm=1wmk=0(k=1,2,3,...,N)。τ(k)為網絡中的時變時滯，假設其滿足Poission分布如下：
　　Prob(τ(k)=τ)=λττ!e－τ,τ∈R,0<λ<1，方差σ2=λ。節點i的輸出yi(k)∈Rm,C=diag(C1,C2,C3,...,CN)。
2牽制控制器的設計
　　本文采用牽制控制的思想，假設控制的節點屬于一個集合S，整個網絡的節點屬于集合N。
　　

　　用式（2）減去式（1）可以得到誤差系統如下：
　　

　　設計如下的牽制反饋控制器：
　　

　　在下面論證過程中會用到以下引理。
　　

　　這樣狀態估計器如（式（2））在牽制控制器ui的選擇控制下可以有效地估計復雜網絡（如式（1））的狀態。
　　證明：構建Lyapunove函數
　　

　　W是將W中元素wij替換為a2λmax(ΓTΓ)w2ij后的矩陣。因此，由Lyapunov定理可知：只要ΔV(k)≤0，則當k→∞時，估計誤差就將趨于0，繼而可以得出狀態估計器可以有效地估計原網絡的狀態信息。從而得出定理1的結論。
3數值仿真
　　仿真中，利用小世界網絡模型。該模型是由20個節點組成的復雜網絡，同時每個節點有三種狀態，可表示為xi=(xi1,xi2,xi3)T,i=1,2,3...,20，參數可設定如下：
　

　　根據最大匹配算法可以算出該網絡至少要控制3個節點，根據上述判斷選取增益矩陣K=(0.9,0.8,0.9)T,其仿真結果如下圖1~圖3所示，3幅圖中橫坐標代表時間刻度，豎坐標ei1(k)、ei2(k)、ei3(k)表示節點的估計誤差。

　　由仿真圖可知，節點誤差收斂于零，故狀態估計器（式（2））在牽制反饋控制器ui的作用下可以有效地估計復雜網絡（式（1））的狀態。
4結論
　　本文主要研究了具有狀態延時的離散時間復雜網絡的牽制控制狀態估計的問題。將牽制控制的方法運用到狀態延時離散復雜網絡中，即通過控制網絡中少部分節點，以達到對整個復雜網絡進行狀態估計的目的，大大降低了狀態估計的成本，具有實際工程運用的價值。利用Lyapunove穩定性理論，給出了牽制控制狀態估計器的設計準則，并同時在理論上給出了需要牽制多少個節點才能達到有效進行狀態估計的要求。最后，通過仿真實例，驗證了所設計狀態估計器的可行性和有效性。
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