引言
active-RC濾波器是基于運放的負反饋應用，它的線性度很高，所以active-RC濾波器最適合做信道選擇濾波器。運放是active-RC濾波器中的關鍵模塊，濾波器的帶寬越寬，Q值越高，對運放的增益帶寬積(GBW)的要求也就越高，濾波器的性能通常受限于運放的GBW。運放的有限GBW對active-RC濾波器的最主要影響是使其Q值升高，關于這方面的經驗性結論多，具體的數學分析卻很少。本文從數學上來分析運放的有限GBW對濾波器Q值的影響，推導出具體公式，并且研究其補償方法。
1 運放的有限GBW對active-RC濾波器Q值的影響
圖1(a)是active-RC積分器，它是濾波器中基本的單元模塊，其理想傳輸函數為式(1)：
積分器的理想品質因子Qint,ideal→∞，相位φint,ideal=-π/2。實際上運放的有限GBW影響其傳輸函數，我們把運放近似為一個單極點系統，其傳輸函數為式(2)：
Wamp是運放的主極點，WGBW是運放的增益帶寬積。在我們感興趣的頻率范圍內，運放的傳輸函數可以簡化為式(3)：
考慮到運放的有限GBW，通常WGBW>>1/R1C1，積分器的實際傳輸函數為式(4)：
圖1(b)是一階Active-RC濾波器，它同樣是濾波器中基本的單元模塊，其理想傳輸函數為式(7)：
從式(12)可以得出，一階濾波器的實際Q值會由于運放的有限GBW而升高。
在分析了active-RC濾波器中的一階單元模塊的基礎上，我們接下來分析濾波器的二階單元模塊Biquad，Biquad是濾波器中最基本的二階模塊。圖2是Two-Thomas Biquad電路，我們采用的Two-Thomas Biquad是一種非常靈活可調的Biquad電路結構，它的靈敏度低，其理想傳輸函數為式(13)：
從式(17)可以得出，Biquad的Q值同樣會因為運放的有限GBW而升高。以上是針對一階系統和二階系統推導的，對于級聯的高階系統完全可以依次類推。根據式(12)和(17)，為了使運放的有限GBW對濾波器Q值影響比較小，則WGBW必須遠遠大于Q*wp。
為了驗證前面的理論分析，我們對一個5階active-RC低通濾波器進行仿真，在不同的運放GBW下的頻率響應如圖3所示。這個濾波器的LCR原型是5階Chebyshev I型低通濾波器，帶寬是19.7MHz，帶內紋波0.1dB。從圖3可以看出，運放的GBW越寬，active-RC濾波器的實際頻率響應與理想的LCR原型濾波器越接近;運放的GBW越窄，active-RC濾波器的實際Q值越高，越偏離濾波器的理想特性。同時可以看出，要使濾波器的實際頻率響應接近LCR原型的頻率響應，所需的運放GBW很大，這在具體電路設計上難以實現，并且消耗的電流也太大。
2 針對active-RC濾波器Q值升高的補償方法
從前面的分析得出，如果要使濾波器的頻率響應接近LCR原型的話，所需運放的GBW很大，甚至不現實。所以我們就必須研究其補償方法，讓濾波器的Q值降低，與理想的LCR原型接近。對比式(15)和式(16)，可以看出由于運放的有限GBW使Two-Thomas Biquad產生了額外的相位-2wp/WGBW，這個額外的相位為式(18)：
從式(18)看出，這是一個相位滯后，因此我們必須引入一個超前的相位來補償。在圖4中引入電容Cm對active-RC濾波器的Biquad進行相位超前補償，其超前的相位為式(19)：
對比式(18)和式(19)，如果選擇l/R4*Cm=WGBW/2，則由運放的有限GBW引入的滯后相位和補償電容Cm引入的超前相位可以相互抵消，避免濾波器Q值升高，減小對運放GBW和功耗的要求。圖5是在相同的運放GBW的情況下，在一個5階低通濾波器的Biquad引入補償電容Cm前后的仿真對比，從圖中可以看出，補償電容Cm使濾波器的Q值降低，抵消由于運放有限GBW帶來的影響。在實際的電路設計中由于要保證濾波器具有一定的線性度和穩定性，運放的帶寬不能太小，通常選擇運放的GBW為濾波器Q*wp的10倍左右。
4 結論
在相同的運放GBW的情況下，對5階低通濾波器的Biquad引入補償電容Cm的前后進行仿真對比，發現補償電容Cm會使濾波器的Q值降低，并抵消由于運放有限GBW帶來的影響。
