摘  要： 在變形雅可比(p=4,q=3)-傅里葉矩的基礎上采用三次樣條擬合特征空間軌跡，保證了插值函數光滑性，并且通過限定每個三次多項式的一階和二階導數，使其在斷點處相等，成功地逼近每對斷點間的曲線，從而能夠更好地對曲線進行擬合，并驗證包含圖像信息量最大的矩值。
關鍵詞： 不變矩；多焦面圖像；三次樣條；擬合

    變形雅可比(p=4,q=3)-傅里葉矩[1-6]是對于圖像的平移、旋轉、灰度、尺度等多種畸變不變性和噪聲不敏感，具有基本不變值的矩，并且用于圖像的特征提取時，只用一個很小的圖像描述量集合就可以代表圖像。變形雅可比矩反映了圖像函數到一些特定基本函數的映射關系，從而確保了由一定數量的不變矩作為描述量描述圖像的可能性和可靠性。由于變形雅可比矩是一種高度濃縮的圖像特征，具有平移、尺度、旋轉等多畸變不變性，因此變形雅可比矩和矩函數被廣泛用于圖像的特征提取、模式識別中。
    近幾年來, 曲線擬合是計算機輔助幾何設計中的一個重要研究課題, 在計算機圖形學、逆向工程、數值計算等方面有著廣泛的應用。人們提出了許多各具特色的曲線擬合算法用于曲線描述，李二濤等人提出了一種基于最小二乘的曲面擬合算法[7],采用該算法進行曲面擬合, 擬合的曲面精度高,但是當出現尖峰厚尾的分布時，很難確定其密度函數。分段低次樣條插值雖然計算簡單、穩定性好、收斂性有保證且易于實現，但只能保證各小段曲線在連接處的連續性，不能保證整件曲線的光滑性。利用三次樣條插值，既可保持分段低次插值多項式，又可提高插值函數光滑性。在三次樣條中，通過限定每個三次多項式的一階和二階導數，使其在斷點處相等，能夠成功地逼近每對斷點間的曲線，較好地確定所有內部三次多項式，與原曲線具有極大的相似性[8-11]。
     本文采用變形雅可比(p=4,q=3)-傅里葉矩對多焦面圖像特征提取， 用三次樣條對特征空間軌跡進行擬合[12-16]。


    第3類邊界條件是周期性條件，如果y＝f(x)是以b-a 為周期的函數，于是S(x) 在端點處滿足條件S′(x1＋0)＝S′(xn-0)，S"(xn＋0)＝S"(xn-0)。
2曲線擬合實驗研究
2.1算法實施步驟
    (1)將數據庫中15張不同焦面的鬧羊花圖像進行小波變換邊緣檢測，得到邊緣圖像，并作為樣本圖像，以便下一步特征提取,然后從樣本圖像中選取8張圖像作為訓練圖像;
    (2)計算樣本圖像的變形雅可比(p=4,q=3)-傅里葉矩M=2，N=0，1，2，…,N時的值，圖1所示為用三次樣條插值曲線插值變形雅可比(p=4,q=3)-傅里葉矩N=1,3,4，6時的訓練序列點。
    圖1中實線為數據庫中所有圖像的同一個變形雅可比(p=4,q=3)-傅里葉矩,虛線為訓練序列變形雅可比(p=4,q=3)-傅里葉矩M=2，N=1,3,4,6的三次樣條插值曲線。

2.2 結果分析
     由圖1可知，三次樣條插值曲線光滑地經過訓練序列點，并且極其成功地擬合了變形雅可比(p=4,q=3)-傅里葉矩在M=2，N=1,4,6的訓練序列點。M=3時，三次樣條插值曲線對訓練序列點擬合得非常差，說明該階矩所包含的圖像信息量非常少。在M=6時,兩條曲線最相似，說明該階矩包含圖像的信息最多。
    本文利用變形雅可比(p=4,q=3)-傅里葉矩描述多焦面圖像，該矩具有平移、旋轉、灰度、尺度等多種畸變不變性和噪聲不敏感，被廣泛用于圖像的特征提取。采用三次樣條擬合特征空間軌跡,保證了插值函數光滑性，并且通過限定每個三次多項式的一階和二階導數，使其在斷點處相等，成功地逼近每對斷點間的曲線。該方法可以有效地識別出含有圖像信息最豐富的矩值。
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