摘  要： 針對EZW和SPIHT算法在壓縮效率和壓縮性能方面的不足，提出了改進算法，將(5,3)整數小波變化與這兩種算法結合起來,并對三個子帶分別進行編碼，給出了兩種算法的峰值信噪比、均方誤差的理論對比分析。所有結論被 Matlab仿真試驗驗證。
關鍵詞： 整數小波變化; 峰值信噪比; 均方誤差; 均方根誤差; EZW; SPIHT

    隨著多媒體和通信技術的發展，人們對通信速度、數據的處理能力提出了近乎苛刻的要求。近年來針對圖像壓縮而提出的算法，既要能夠有效地去除空間冗余、視覺冗余、時間冗余等各方面的冗余信息，還需充分考慮其壓縮效率和解壓縮效率，圖像的失真度等各方面的因素。
    基于小波變換的圖像編碼技術主要是利用圖像經過小波變換后的系數分布特點而得到不同的編碼方案。EZW（嵌入式零樹編碼）和SPIHT（分層樹集分割編碼）是兩種常見的基于小波變換的嵌入式零樹編碼方案。這兩種編碼方法不但實現了壓縮比可調、分辨率可調，且壓縮后的圖像有很好的信噪比。因此現在很多圖像壓縮標準都采用了這兩種編碼方法。
    實驗表明，EZW和SPIHT對三個子帶取相同的熵值進行編碼并沒有充分表現出經過小波變換后圖像子帶間的相關性。同時SPIHT算法在實現上需要維護三個動態鏈表，占用大量的內存，不利于算法的實現和推廣?；谝陨蟽煞矫娴娜毕?，本文提出了改進算法。
1 算法簡介及實現
1.1  整數小波變化
    研究圖像壓縮的編碼方法，首先要選擇合適的量化方案，將圖像的空間域信息轉換為頻域信息。基于提升算法的整數小波變化，它既可以在多分辨率級上對圖像進行分析，又不涉及浮點數的運算，不但簡化了計算量,還可以用于無損壓縮。其主要步驟如下：
    (1)分裂：將圖像Sj=(ej-1,oj-1)分解為一個偶數序列和一個奇數序列；
    (2)預測：利用偶數序列去預測奇數序列，得到高頻系數，dj-1=oj-1-P(ej-1)，對應圖像的細節系數；
    (3)更新：預測后的圖像可能出現某些特征系數與原圖像并不一致，此時就需要更新操作Sj-1=ej-1+U(dj-1)。
    整個提升方案都是可逆的。
    由提升方案構造的（5,3）整數小波變換構造了雙正交緊支小波基，它既可以用于無損圖像壓縮，也可以用于有損圖像壓縮。因此本文選擇（5，3）整數小波變換作為圖像的量化方案。    其算法實現過程如下：
  
  
       圖1為lena經過三層(5,3)整數小波分解后的圖像。

1.2  EZW算法
    經過小波變換后的圖像分別在水平方向、垂直方向和對角方向連接，形成四叉樹結構，如圖2所示(Z字型為其掃描順序)。
    具體步驟如下：
  
    (2)進行主掃描，比較小波系數和T值的大小，依次輸出下列編碼流，如圖3所示；

    (3)進行輔掃描，就是對系數P或N進行量化編碼。
    每次掃描結束后只需將T（熵值）、scancode（主掃描表）、flaglist（輔掃描表）進行傳輸，EZW就是采用這種逐次逼近的嵌入式編碼方式。
1.3 SPIHT算法
    SPIHT算法采用了與EZW算法相似的零樹結構，它定義了三個動態鏈表LIS（無效集表）、LIP（無效像素集表）和LSP（有效像素表）。其中LIP和LSP中存儲的是節點坐標，LIS中存儲的是坐標集,其類型有L型和D型,L表示非直系親屬,D表示直系親屬。具體算法過程如下：
  
 else  output=0 add (k,l) to LIP
    ③如果LIS的類型為L
    if Sn(L(i,j))==1(each (k,l)∈O(i,j))
        output=1 and add (k,l)D to LIS
    else output=0
2 EZW和SPIHT算法的優缺點
2.1  EZW 算法的優點
    (1)利用經過小波變化后圖像大部分能量集中在低頻部分這一特點，進行有效的零樹編碼；
    (2)采用了SAQ（逐次量化逼近）的方法選擇熵值，這樣不但使壓縮后的圖像有很好的信噪比，而且也很好地利用了帶寬，在傳輸圖像的過程中首先接收到的是圖像的輪廓部分，如果接收者認為不需要這幅圖像可以中斷圖像的傳輸；
    (3)經過EZW編碼后的圖像，實現了分辨率可調、信噪比可調、壓縮比可調；
    (4)使用自適應算法還可以使EZW算法應用于無損壓縮。
2.2 SPIHT算法的優點
    SPIHT算法不僅繼承了EZW算法的所有優點，還有如下優勢：
    (1)采用了比EZW算法更細致的嵌入式比特流，使壓縮后圖像的信噪比更高；
    (2)每次只需要輸出1 bit的信息流,在解碼過程中不需要對信息流重新排列。
2.3 EZW算法和SPIHT算法的缺點
    (1)經過小波變換后圖像的LL部分反映了圖像的輪廓信息，聚集了壓縮后圖像的絕大部分能量，人眼對該部分的信息也較為敏感。EZW算法和SPIHT算法沒有考慮到LL部分的重要性，使其解碼后失真度較大。
    (2)經過小波變換后,圖像在LH部分很好地保留了
垂直分界線,在HL部分很好地保留了水平分界線，EZW算法和SPIHT算法只考慮了子帶間的相關，沒有考慮子帶內的相關性，對三者取相同的熵值進行編碼，造成了壓縮后圖像的邊界拓延性差。
    (3)在EZW算法中，如果一棵樹的根節點是重要的，但是它所有的子節點都是不重要的，則需要4個0表示其子節點信息。同樣在SPIHT算法中，如果一棵樹的4個根節點不重要，但是它的子節點是重要的，則需要在LIP表中存儲4個根節點信息。這樣就造成了存儲空間的浪費，也影響了編碼和解碼的速度。
    (4)在SPIHT算法中，需要維護三個動態鏈表，使SPIHT算法的實現受到了硬件的限制，不但增加了算法的復雜度，還造成了存儲空間的浪費，阻礙了SPIHT算法的發展和推廣。
3 改進算法
    針對上述不足，提出了以下改進方案。
3.1  改進方案1
    實驗表明，EZW算法和SPIHT算法的復雜度隨著某個位平面的重要系數個數的增加而增加。經過三層整數小波變換后的圖像LL部分聚集了絕大部分能量，重要系數的個數也比其他子帶要多許多。而且人眼對LL部分的信息較為敏感。考慮到LL3部分的重要性，本文將LL3部分單獨編碼并采用無損圖像壓縮編碼的方法。
    經過整數小波變換后的圖像其數據的浮動范圍較大，在某種程度上影響了壓縮的效果。因此本文增加了一個DPCM的預測過程，然后再對LL3部分進行Huffman編碼。
    DPCM預測算法,以方便保留第一行和第一列的灰度值
    for i=m/8:(-1):2
            for j=n/8:(-1):2
                LL3(i,j)=LL3(i,j)-
    floor((LL3(i-1,j)+LL3(i,j-1))/2)
           for i=m/8:(-1):2
               LL3(i,1)=LL3(i,1)-LL3(i-1,1);
　　　        for j=n/8:(-1):2
                  LL3(1,j)=LL3(1,j)-LL3(1,j-1)
3.2 改進方案2
    考慮LH、HL、HH子帶內系數的相關性，對三個子帶取不同的熵值，然后再進行EZW或SPIHT編碼。這樣不但提升了解碼的精度，還簡化了運算。對于某個子節點(i,j)，其子節點為（2i,2j）(2i+1,2j)(2i,2j+1)(2i+1,2j+1),不需要再在子帶內部求子節點。
3.3 改進方案3
    SPIHT算法在運行過程中需要維護3個動態鏈表，要實現該算法對硬件的要求較高，不利于該算法的實現和推廣，因此本文選擇了矩陣+鏈表的改進算法。將LIP和LSP都定義為一個矩陣，LIP是一個與圖像大小一致的矩陣，用1 bit存儲不重要系數標志位。LSP大小選擇要根據所研究的圖像來確定,對于每一個像素點需要用2 bit來存儲其位置信息。動態鏈表LIS繼續沿用原算法的定義。算法實現過程為：
　    (1)初始化：
       LIP={A1，A2，A3}(A1、A2、A3的大小與L3、L2、L1的大小相同)
　    LSP={B1，B2，B3}（這里取B1、B2、B3的大小為L3、L2、L1的1/4）
　    LIS=[(i,j,n)D/L](n表示層數)
　　(2)初始化掃描：圖4為初始化LIP和LSP；圖5為當LIS中n=1,type 為D的掃描方式；圖6為當LIS中的n=1,type為L的掃描方式；圖7為當LIS中的n=2，type為D的掃描方式。

　    (3)第二次掃描只有LIP的掃描方式有所不同，如圖8所示。對LIS的掃描與上述一致。
    改進的EZW算法和SPIHT算法完整流程圖如圖9所示。

4 實驗結果
      本文通過在Matlab2010a上編程實現了上述4種算法。
　    首先，從主觀因素上對圖像質量進行了分析，主要是在原算法和改進算法的掃描時間上進行了比較。
　　其次,從客觀上對壓縮后圖像質量進行了評估，主要是通過PSNR(峰值信噪比)、MSE(均方誤差）、RMS(均方根值誤差)這三方面進行比較分析。
  
    RMS=((x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2)/n (3)
    以下三組實驗選擇的圖像大小為64×64×8 bit的國際標準測試圖片lena、barb和boat，三幅圖像的比特率均為0.25 bpp。
      表1為原EZW算法和改進算法在編碼時間和解碼時間的比較，圖10為用原EZW算法和改進算法解碼后的恢復圖像，表2為用原EZW算法和改進算法對圖像進行壓縮后PSNR、MSE、RMS的對比。

    以下三組實驗選擇的圖片大小為512×512×8 bit的國際標準測試圖片lena、barb、boat。
    表3為原SPIHT算法和改進算法對實驗圖像進行不同比特率的編碼后,在PSNR、MSE、RMS三方面的對比分析。
    圖11為原SPIHT算法和改進算法對實驗圖像進行解碼后的恢復效果圖。這組實驗選擇的比特率為0.125 bpp。    圖12為用原SPIHT算法和改進算法對實驗圖像進行解碼后的恢復效果圖。這組實驗選擇的比特率為0.25 bpp。

    基于整數小波變換的EZW算法和SPIHT算法不僅具有傳統圖像壓縮算法的所有優點，而且還具有一些新的優點，如支持感興趣圖像編碼，支持無損圖像壓縮等。本文以原EZW算法和SPIHT算法為基礎，對圖像進行三層(5,3)整數小波變換以后對低頻部分進行DPCM+Huffman編碼,將高頻部分分為3個子帶分別進行編碼。同時摒棄了原SPIHT算法的三鏈表結構，采用了鏈表+矩陣的編碼方式。圖像在恢復效果和運行速度上都優于原算法。但是還有一些需要改進的地方，如EZW算法中如果一個根節點重要但是其所有的子節點不重要，如何有效地存儲這個根節點，如何使壓縮后圖像有更好的壓縮比和信噪比，有待進一步研究。
參考文獻
[1] 趙榮椿,趙忠明.數字圖像處理導論[M]. 西安:西北工業大學出版社,1999.
[2] 羅家輝,馮平,哈力旦.MATLAB7.0在數字圖像處理中的應用[M].北京:機械工業出版社,2007.
[3] 岡薩雷斯.數字圖像處理(第2版)[M].阮秋琦,譯. 北京:電子工業出版社,2007.
[4] 張德豐. Matlab小波分析[M].北京:機械工業出版社, 2009.
[5] 和青芳.計算機圖形學原理及算法教程[M].北京:清華大學出版社,2006.
[6] JPEG2000 PartI: Final draft international standard (ISO/IEC FDISI 5444-1)[S].ISO/IEC JTC1/SC29/WG1N18855,Aug.2000.
[7] ABU-HAJAR A, SANKAR R. Enhanced patial-SPIHT for lossless and lossy Image[C].ICASSP,2003.
[8] RANI B, BANSAL R K, BANSAL D S.Comparative Analysis of wavelet filter using objective quality measures[R].  International Advance Computing Conference,2009.
[9] SAID A, PEARLMAN W A. A new,fast,and efficient image codec based on set partitioning in hierarchical tree[J]. IEEE Trans.Circuits Syst.Video Techno[R]l,1996.
[10] 楊杰.數字圖像處理及MATLAB實現[M].北京:電子工業出版社,2010.
[11] Jia Zhigang, Guo Xiaodong, Li Linsheng. A fast image  compression algorithm based on SPIHT[C].IEEE,2009.