0 引言
    當前的人臉識別系統，采用了多種不同的構造模型。如主流構造模型有基于器官的方法和基于模板的方法來構造模型，但它們都存在一個共同的特點，就是構造的對象都非剛性，必然受到光照、表情、服飾或其它遮隱物的影響，計算復雜，識別率不高。本文提出了一種采用骨骼模型構造三維人臉模型的方式，構造的對象是剛性物體，克服了人臉形變所帶來的識別率不高的問題。

1 人臉骨骼模型的獲取
    現在，國外有許多X光機，可以直接拍攝人臉的三維骨骼，如圖1所示，就是X光機拍攝到的人體骨骼。

    為了獲取人臉的三維骨骼模型，將人臉骨骼切割出來。利用三維人臉骨骼所有頂點以及頂點方向分布，將三維人臉骨骼頂點集合設定為最小二乘擬合平面。
    在最小二乘擬合平面中，首先定位出原始模型的鼻尖骨點，然后按照測地距離度量，切割原始三維人臉骨骼模型，得到三維人臉骨骼模型，最后估計三維人臉骨骼模型姿態，并將其旋轉至規范的正面姿態。
1．1 定位鼻尖點
    為了定位三維人臉模型，必須先確定某點為參考點。對給定的人臉骨骼，利用最小二乘方法擬合一個過人臉骨骼模型所有頂點的平面，如圖2所示。

    將人臉骨骼切割為兩部分，在位于最小擬合二乘平面上的那部分點集中尋找距離最小二乘擬合平面最遠的頂點，記為三維人臉模型的鼻尖點。
    在定位了三維人臉骨骼模型之后，需要對原始模型做處理，定位出提取識別中起關鍵作用的面部骨骼區域，以便于人臉規范化與后續的比對處理。
1．2 測地距離的計算
    人臉骨骼并不是一個剛性物體，它的某些部位(如下頜骨)會隨表情的變化而發生變形。文獻認為由于表情變化引起的人臉(骨骼)變形可以看作是一個等距(保長)的變換。這些變換并不拉伸與破壞面部骨骼曲面，或者更嚴格地說，它不改變面部骨骼曲面上的度量，因此人臉骨骼曲面的一些內在幾何屬性是與表情無關的。從而，為了得到人臉的一個表情無關的表示，也等價于尋找人臉骨骼曲面的一個等距表示。文獻在人臉上放置了133個標記點，并且跟蹤由于表情變化引起的這些點之間的距離變化。實驗結果表明由于表情變化引起的測地距離的改變量不到歐氏距離改變量的1／2，當然對人臉骨骼的影響更小，幾乎可以忽略不計。
    在文獻中，sethlan(1996)提出了一個高效的數值計算格式，稱為Fast Marching Method(FMM)，它能夠在O(N)步內計算一個平面上從一個源點到另外N個點的距離。FMM是基于求解短時矩方程(eikonal euqation)的迎風格式的差分逼近，短時矩方程是wave propagation equat-ion‖(x)=1 ‖的微分形式，其中v：表示從源點s1，…，sk開始的距離映射函數，v(si)=O為上述方程的邊界條件。距離映射從源點出發，逐步向外傳播。
    在文獻中FMM被擴展到三角網格流形(TMTD)上。經典的FMM是在矩形網格上進行的，每次被更新的網格點都包含在—個直角三角形中。在三角網格流形的情形中，主要針對銳角三角形進行處理，如果要更新的網格點包含在一個鈍角三角形中，文獻提出了一個通過展開鄰近三角片的方法來分裂鈍角三角形。本文求解測地距離的方法基于文獻。
1．3 測地模型
    在前期處理階段，我們需要提取三維人臉骨骼模型的面部區域。關鍵在于首先要在人臉骨骼上定位一個位置固定的源點，本文使用上一小節定位出的鼻尖點作為源點。其次需要找到在源點周圍的一個等距(在測地距離意義下)區域。測地模型為該區域的內部，原始三維人臉骨骼模型中在該區域外面的點都被移除。這能保證我們在幾何連續的意義下切割得到人臉骨骼的面部區域，同時由于采用測地距離度量，因此切割得到的人臉骨骼面部區域不受表情的影響。
    測地模型是通過計算環繞三維人臉鼻尖點的一個區域而得到的，如圖3所示。測地模型的半徑是經驗數據，是多次試驗結果的總結，半徑在80～110mm范圍內波動，本文使用100毫米。我們使用Fast Marching Method來計算測地距離，切割之后得到的測地模型包含大約4 000～5 000個頂點。

2 三維人臉骨骼模型的規范化
    得到測地模型之后，主要通過對測地模型做PCA分析，估計并校準人臉骨骼姿態。令S(P，K)表示人臉測地模型，其中P表示N個點pi的集合，，1≤i≤N，K是一個抽象單純復形(alstract Simplicial complex)，它包含與頂點pi相關的一些信息：頂點v={i}∈K，{i，j}∈K以及三角面f={i，J，k}∈K。令Os表示三維人臉測地模型S(P，K)的質心，我們首先計算測地模型頂點分布的協方差矩陣如下：
   
    通過對C做主成分分析(PCA)，我們得到C的三個特征值λ1≥λ2≥λ3，以及與這三個特征值相對應的三個特征向量v1，v2，v3。通常人臉骨骼都會比較長，也就是說人臉骨骼垂直方向的長度大于水平方向的長度。因此，協方差陣C會有三個不同的特征向量。特征向量v3表示測地模型的最小二乘擬合平面的法向量，特征向量v1，表示測地模型垂直方向，特征向量v2對應與測地模型的水平方向。PCA算法的復雜度為O(N)。
    取Os為原點，v1為坐標x-軸，v3為坐標z-軸，我們定義一個新的右手坐標系。這個坐標系反映了人臉骨骼的姿態，并且只與三維人臉骨骼模型的頂點分布有關。通過將測地模型旋轉到這個新的坐標系下，可以達到校準人臉骨骼姿態的目的。過程如下：
   
    其中A表示從原始坐標系旋轉到新坐標系的旋轉矩陣，A中的V表示C的特征向量v1，v2，v3的分量。效果如圖4所示。

    測地模型在三維人臉的規范化在后續比對中起到了非常重要的作用。

3 實驗結果
    為檢測本構造在人臉識別中的識別率，我們采用平均的Hausdorff距離(MHD)，進行相似性比對，在相同條件進行5組，每組100次蒙特卡洛仿真，比較基于特征的人臉識別與基于模板的人臉識別率，得到識別率如表1所示。

4 結論
    本文構造了一種三維人臉骨骼模型，它以三維人臉骨骼的擬合平面和鼻尖定位作為模型的基本骨架，通過測地模型的計算，消除了人臉姿態的變化，然后作PCA分析，歸一化人臉骨骼標準坐標進行識別，實驗表明，該方法可以提高人臉的識別率。