引言
設(shè)計在現(xiàn)實世界中運(yùn)行的電路具有一定的挑戰(zhàn)性。僅僅使電路設(shè)計符合規(guī)范目標(biāo)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，精確地預(yù)測一定范圍條件下電路的表現(xiàn)也很重要，包括各組件的真實值變化。此過程通常稱為電路良率分析。一旦較好地了解了這種表現(xiàn)，設(shè)計人員便可以有效地利用預(yù)計的制造容差來選擇電路和組件進(jìn)行設(shè)計。
眾所周知，正常運(yùn)行的電路，即使電路參數(shù)發(fā)生變化，其構(gòu)建、測試和支持成本也相對較低。
本文闡述了容差的使用，以進(jìn)行良率分析預(yù)測，即有多少以不同組件值構(gòu)建的電路能夠符合規(guī)格要求。要想進(jìn)行有效的良率分析，您必須要擁有：
* 較好的電路模型，包括重要組件、雜散等。
* 較好的預(yù)計組件值變化模型
* 通過/未通過的定義或規(guī)格
利用這三種輸入，您可以進(jìn)行一些必要的計算，來預(yù)測電路良率。用于進(jìn)行這些計算的工具其效用各不相同，取決于問題的復(fù)雜程度和您的洞察力。下面表1中，對一些方法進(jìn)行了總結(jié)。
表1. 良率分析方法
本文將介紹如何使用Microsoft Excel軟件進(jìn)行良率分析，討論了一些諸如概率分布函數(shù)（pdf）之類的基本良率分析概念，闡述了如何生成隨機(jī)組件值，得到理想的概率分布。
利用組件值及設(shè)計方程式確定良率
電路由各組件組成。這些組件共同組成電路，其整體表現(xiàn)遵循某種規(guī)則或設(shè)計方程式。要進(jìn)行良率分析，設(shè)計人員必須了解組件值變化和設(shè)計方程式。
例如，就下面圖1所示的簡單增益電路而言，已知RF和Rg的電阻后（假設(shè)為一個理想的運(yùn)算放大器），就可以很容易地計算出該運(yùn)算放大器的增益。然而，在現(xiàn)實世界中，如果我們構(gòu)建該電路數(shù)百次，組件Rf和Rg在每次電路構(gòu)建時的值會有所不同。接下來當(dāng)對該電路進(jìn)行測試時，會發(fā)現(xiàn)其增益在每次電路構(gòu)建時也各不相同。在該示例電路中，發(fā)生組件值變化的是電阻容差。增益的設(shè)計方程式為：
增益 = - Rf/Rg
例如，如果我們選取Rf = 1kΩ并且Rg = 1kΩ，則增益為-1。
圖1. 反相運(yùn)算放大器示例
最后，該電路的規(guī)格可能會為：增益 = -1 ± 0.1V/V。
組件PDF和CDF
通常設(shè)計人員無法預(yù)測某個組件將會出現(xiàn)的值。但是憑借經(jīng)驗，我們可以預(yù)測有多少組件或者多少次產(chǎn)品運(yùn)行會出現(xiàn)某種表現(xiàn)。對于這種表現(xiàn)的描述稱為一個pdf或者概率分布函數(shù)。
pdf是一種描述隨機(jī)變量X的可能取值x與某個特定值出現(xiàn)概率對比關(guān)系的曲線或函數(shù)。例如，在本文的示例電路中，我們描述了Rf電阻值與一批電阻中出現(xiàn)該電阻值概率的對比關(guān)系。
cdf為累積分布函數(shù)，為隨機(jī)變量X取一個小于或等于某個值x的概率。也就是說，如果我們擁有pdf分布，就可以利用積分計算出cdf。您可能已使用了高斯或正態(tài)pdf，其由兩個參數(shù)定義：平均值（中心值）和標(biāo)準(zhǔn)偏差（約等于峰值寬度）。圖2描述了正態(tài)分布的pdf和cdf。
圖2. PDF和CDF示例
正態(tài)分布適合于許多現(xiàn)實世界情況，并且更易于數(shù)學(xué)實現(xiàn)。但是，請注意！正態(tài)分布可能沒有描述出您的某種特殊情況。例如，如果您正使用20%容差的電阻，您會發(fā)現(xiàn)5%的電阻被全部去除，并被出售給其他人。這種情況下實際的pdf如圖3所示。
圖3. 分類各部件的分布情況
利用這種分布，測定電阻值與電阻標(biāo)簽一致的概率為零！同具有正態(tài)分布組件值的電路相比，您的電路會表現(xiàn)得相當(dāng)差。另外，獲得5%電阻的設(shè)計人員會發(fā)現(xiàn)其工作比預(yù)計的情況要好，因為他的分布對尾數(shù)進(jìn)行了取舍。
我們從中得到的經(jīng)驗是，有許多有用的分布可供選擇，而如何選擇這些分布非常重要。不要把自己局限于正態(tài)分布這一種。
在Excel中產(chǎn)生隨機(jī)組件值
如果我們能夠生成一系列隨機(jī)數(shù)，那么我們就可以用這些數(shù)值來代表生產(chǎn)中的電阻值。然后，我們可以用這些值和電路方程式一起來確定電路的增益，將其與規(guī)范要求相對比，并計算出良率。下列各圖給出了具體的結(jié)果。就20次構(gòu)建、±20%的增益規(guī)范而言，良率為80% （每次運(yùn)行的結(jié)果會略有不同）。
圖4. 生成隨機(jī)電阻值以及得到的增益
上面的分析中，每個電阻均使用了一種均勻分布隨機(jī)變量。這種均勻分布下，取兩個極限值之間任何電阻值的概率都一樣。您可以在Excel*¹中使用兩種方法來生成電阻值：選擇Tools Data Analysis Random Number Generation，或使用RAND（）函數(shù)（請參考Excel中的RANDBETWEEN（））。如果您使用RAND（）或RANDBETWEEN（）函數(shù)方法，電子表格軟件每次計算便重新產(chǎn)生一個值（按F9鍵）。
RAND（）給出的是大于等于0并且小于1的隨機(jī)數(shù)。如需獲得大于等于1并且小于b的隨機(jī)數(shù)，請使用RAND（） × （b-a） + a。RANDBETWEEN（a，b）給出的是一個大于等于a并且小于等于b的整數(shù)（假設(shè)a和b均為整數(shù)），如果a和b是非整數(shù)，RANDBETWEEN（a，b）將得到介于a和b之間的一個整數(shù)值。
不幸的是，大多數(shù)組件均遵循均勻分布以外的分布。但是，這類分析在估計最差性能時較為快速和有效。
正態(tài)分布PDF和CDF
Excel提供了大量其它函數(shù)，可以幫助我們生成更為真實的pdf。為了生成一種正態(tài)或高斯曲線，我們使用了內(nèi)置函數(shù)NORMDIST（）。例如，對于平均值 = 0并且標(biāo)準(zhǔn)偏差 = 1的正態(tài)分布而言，“=NORMDIST（$A7，0，1，F(xiàn)ALSE）”返回x = 存儲于單元格A7的概率。
標(biāo)準(zhǔn)偏差（通常被稱為Σ）描述了pdf函數(shù)峰值的寬度，并相當(dāng)于第二個導(dǎo)數(shù)改變標(biāo)志的點。這就是用于生成圖2所示pdf的方法。通過將“FALSE”改變?yōu)?ldquo;TRUE”，您將會得到cdf的各個值。
如果您沒有更好的數(shù)據(jù)，那么就假設(shè)組件的規(guī)定百分比容差為±3標(biāo)準(zhǔn)偏差。例如，一個±10%部件會具有±10/3 = ±3.33% （標(biāo)稱值）的標(biāo)準(zhǔn)偏差。
盡管cdf和pdf正確地描述了正態(tài)隨機(jī)變量，但是它們不生成隨機(jī)組件值。理想狀態(tài)下，我們會喜歡使用像“RANDNORM（）”這樣的函數(shù)，其返回的隨機(jī)數(shù)字符合正態(tài)分布。
生成正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)
如上所述，Excel沒有提供RANDNORM（）函數(shù)，但是一些附加函數(shù)提供了這種必要功能。要想生成10個1kΩ標(biāo)稱值并具有±20%生產(chǎn)取值范圍的電阻值，請遵循以下步驟：
1. 平均數(shù) = 1kΩ標(biāo)稱值，標(biāo)準(zhǔn)偏差為1kΩ的±20%除以3 = ±200/3 = ±66.67Ω。
2. 使用內(nèi)置函數(shù)生成一個數(shù)列，選擇Tools Data Analysis Random Number Generation。對話框如圖5所示。
圖5. 隨機(jī)數(shù)生成對話框
請注意，步驟1中計算得到了平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)偏差。輸入數(shù)字10，表示想要生成的隨機(jī)數(shù)（值）個數(shù)。輸出范圍給出了Excel將計算值放入電子表格的單元格。輸出結(jié)果如圖6所示。
圖6. Excel生成的隨機(jī)組件值
其它有用的內(nèi)置分布
您可能已經(jīng)注意到，在Tools Data Analysis Random Number對話框中，Excel為您列舉出了許多種分布供您選擇。這些分布包括正態(tài)分布、均勻分布、二項式分布、伯努利分布、離散分布以及其它幾種分布。前面所述的均勻分布是一種估計最差性能的簡單、有效的方法。二項式產(chǎn)生一種只有2個值（例如：1和0）的分布，其常見于邏輯電路中。一本好的統(tǒng)計學(xué)書籍和一些實驗可以幫助您選擇一種正確的分布。
如果您的分布同可用的分布都不匹配怎么辦呢？ 制作屬于您自己的隨機(jī)數(shù)生成器！我們將在下一節(jié)中對此進(jìn)行介紹。
生成與生產(chǎn)數(shù)據(jù)相匹配的隨機(jī)數(shù)
有時，沒有一種內(nèi)置或標(biāo)準(zhǔn)pdf函數(shù)適合于您電路的情況。此外，在分類電阻情況（參考圖3）中所看到的那樣，非標(biāo)準(zhǔn)分布的影響極其明顯。
這種情況下，我們會想要繪制一種分布、利用生產(chǎn)測試數(shù)據(jù)創(chuàng)建一種分布或者使用計算數(shù)據(jù)創(chuàng)建一種分布，然后生成符合這種分布的隨機(jī)數(shù)，以進(jìn)行良率分析。
創(chuàng)建此類分布以及相應(yīng)的隨機(jī)數(shù)需要如下幾個步驟（如后面圖7所示）。
1. 測量大量的真實組件或者通過計算來生成數(shù)據(jù)。您也許能夠從進(jìn)貨檢查過程獲得這種數(shù)據(jù)。這種原始數(shù)據(jù)將被用于創(chuàng)建pdf。
2. 將數(shù)據(jù)制作成柱狀圖，并根據(jù)采樣總數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。換句話就是說，所有概率的和為1。這種標(biāo)準(zhǔn)化的柱狀圖便是我們所希望的隨機(jī)數(shù)遵循的pdf。
3. 對該pdf求積分創(chuàng)建cdf。確認(rèn)單調(diào)達(dá)到最大值1。
4. 生成一個介于0和1之間的均勻分布隨機(jī)數(shù)：y~UY（0，1）。
5. 將該均勻分布隨機(jī)數(shù)用作cdf上y = P（X ≤ x）時cdf的指數(shù)，并記下x的值。
6. 重復(fù)步驟4和5，生成所有您需要的x隨機(jī)值。
圖7. 生成同生產(chǎn)數(shù)據(jù)相匹配的隨機(jī)數(shù)
結(jié)論
本文中，我們了解了如何生成良率分析所使用的隨機(jī)組件值。對于許多常見分布來說，Excel提供了一些讓這一過程更加快速、簡單的內(nèi)置函數(shù)。對一些特殊情況來說，本文介紹了一種利用均勻分布隨機(jī)數(shù)和測定cdf來生成任意分布隨機(jī)數(shù)的簡單方法。