0 引言

    武器火控系統(tǒng)精度由火控系統(tǒng)和導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)兩個方面的精度組成，慣導(dǎo)系統(tǒng)可以提供火控系統(tǒng)所需接收的導(dǎo)航信息，并且又是導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的重要組成部分，因而慣導(dǎo)系統(tǒng)的可靠性對保證火控系統(tǒng)的精度起著重要的作用。慣導(dǎo)系統(tǒng)的可靠性主要取決于其中慣性儀表的可靠性，所以為了提高可靠性，最早采用的方法是提高單個元器件的可靠性，即設(shè)計具有大的平均無故障時間(MTBF)的元器件。這一方法要求更高的加工工藝及更好的加工材料，并且對系統(tǒng)可靠性的提高極為有限。因此，采用冗余技術(shù)^[1-11]使系統(tǒng)滿足可靠性的要求成為行之有效的方法。這種高可靠性不是建立在嚴(yán)格要求元器件和生產(chǎn)工藝的質(zhì)量上，而是建立在“冗余”的設(shè)計上，允許系統(tǒng)內(nèi)部存在故障，通過容錯設(shè)計消除故障的影響，使系統(tǒng)仍能給出正確的結(jié)果。敖銀輝等人[1]對基于連續(xù)時間MDP模型的維護(hù)策略產(chǎn)出的效益進(jìn)行闡述。本文通過結(jié)合MDP(Markov Decision Process)馬爾可夫決策過程算法理論的研究成果，考慮所設(shè)計INU(Inerrtial Navigation Unit)慣性導(dǎo)航設(shè)備的可靠度與期望節(jié)約成本總體指標(biāo)意義下，采用霍華特(Howard)策略迭代法給出求解最優(yōu)INU冗余度的計算方法^[2]。

1 可靠度指標(biāo)及計算方法

    在可靠性理論中，可靠度是指系統(tǒng)、元件等在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時間內(nèi)正常工作的概率^[3-4]，記為R(t)或R₀(t)。

    文獻(xiàn)[3]指出，相對于INU而言，配置結(jié)構(gòu)的最基本原則是線性不相關(guān)，即要求任意2個傳感器的測量軸不共線，任意3個傳感器的測量軸不共面。從而，對于INU中陀螺儀冗余配置，只要有3個以上單自由度陀螺儀能正常工作，INU就能準(zhǔn)確輸出。假設(shè)N個陀螺儀是同類型、統(tǒng)計獨(dú)立的，而系統(tǒng)其他部件都是理想的，可得N個單自由度陀螺儀冗余INU的可靠度R(t)為；

    由于安裝平臺復(fù)雜，實際應(yīng)用中對INU需要定期檢測維修，這里假設(shè)檢測維修時間間隔為0.5年，陀螺儀平均無故障時間(MTBF)為1萬小時，則根據(jù)式(3)可計算得到陀螺儀單元在維修間隔時間內(nèi)的可靠度為：

2 基于MDP的INU可靠度增強(qiáng)模型

2.1 MDP算法描述

    考慮MDP中最基本的離散時間馬爾可夫決策過程(DTMDP)。DTMDP考慮的是五元組^[12-13]：{S，A(i)，p_ij(a)，r(i，a)，V，i，j∈S，a∈A(i)}，各元的含義為：

    (1)S稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間，是系統(tǒng)所有可能的狀態(tài)所組成的非空狀態(tài)集，它可以是有限的、可列的或任意非空集。

    (2)對狀態(tài)i∈S，A(i)是在狀態(tài)i處非空的可用的決策集。

    (3)當(dāng)系統(tǒng)在決策時刻點(diǎn)t處于狀態(tài)i，采取決策a∈A(i)時，則系統(tǒng)在下一決策時刻點(diǎn)t+1時處于狀態(tài)j的概率為p_ij(a)，它與決策時刻t無關(guān)。

    (4)當(dāng)系統(tǒng)在決策時刻點(diǎn)t處于狀態(tài)i，且采取決策a∈A(i)時，系統(tǒng)于本階段獲得的報酬為r(i，a)。

    (5)V為準(zhǔn)則函數(shù)，也稱目標(biāo)函數(shù)。MDP常見的決策目標(biāo)函數(shù)有總報酬準(zhǔn)則、無限折扣準(zhǔn)則以及無限平均準(zhǔn)則等。

    系統(tǒng)在t時刻的決策規(guī)則π_i是一概率分配函數(shù)，它決定可行決策集A(i)中各個決策取為實際決策a的概率，策略π是指一個決策規(guī)則列π={π_i}。文中采用MDP中常見的Markov策略^[6]。

2.2 MDP模型描述

    根據(jù)INU冗余結(jié)構(gòu)配置的特點(diǎn)，把考慮INU即時可靠度與期望節(jié)約成本總體指標(biāo)最大意義下最優(yōu)INU冗余度的整個選擇過程進(jìn)行狀態(tài)分解，并表示為以下馬氏決策過程的參數(shù)形式：

    (1)決策時刻與周期

    前述分析中，假設(shè)檢測維修時間間隔為0.5年，由于此檢測維修時間間隔已包含在單個陀螺儀的可靠度R₀(t)中，因此可以無量綱時間t來描述，如取t=0，1，2，…，且僅在這些時刻觀察系統(tǒng)的狀態(tài)。例如，第一個階段所經(jīng)歷的時間為時間區(qū)間[0，1]。

    (2)狀態(tài)與決策集

    INU冗余結(jié)構(gòu)中，以在某一觀察時刻INU中正常工作的陀螺儀個數(shù)為狀態(tài)變量參數(shù)。設(shè)第k階段觀察到的所有可能狀態(tài)所組成的集合為X(k)，即X(k)={x₁(k)，x₂(k)，…，x_n(k)}，其中x_i(k)(i=0，1，…，6；k=1，2，…，∞)表示在第k階段初INU中處于正常工作狀態(tài)的陀螺儀個數(shù)i的期望值。現(xiàn)有公開文獻(xiàn)中，INU冗余結(jié)構(gòu)中單個自由度陀螺的最多冗余配置通常為5或6個^[7-8]，所以這里狀態(tài)選擇最大期望值為6，所有期望狀態(tài)均列于表1。

    在第k階段初始狀態(tài)為i時，所采取的決策記為a_k(i)，A_k={a_k(i)}為第k階段初始狀態(tài)為i時的決策集合。令決策集A(i)={0，1，2，3}，即a_k(i)可選擇0、1、2、3，分別表示在k時刻INU中增加0、1、2、3個冗余度。

    狀態(tài)0的決策集為獨(dú)點(diǎn)集A(0)={3}，表示增加3個冗余度，以使INU滿足系統(tǒng)準(zhǔn)確輸出的最低要求；同理，狀態(tài)1的可用決策集為A(1)={2}，狀態(tài)2的可用決策集為A(2)={1}。狀態(tài)3的可用決策集A(3)={0，1，2，3}。為保證各時刻狀態(tài)i期望值不大于7，狀態(tài)4的可用決策集A(4)={0，1，2}，狀態(tài)5的可用決策集為A(5)={0，1}，狀態(tài)6的可用決策集為A(6)={0}。

式中，z為單個陀螺儀的代價權(quán)值，表示增加陀螺將增加系統(tǒng)成本；P₀表示INU在檢測時間間隔內(nèi)能夠使系統(tǒng)準(zhǔn)確輸出的概率，y為P₀的相應(yīng)報酬權(quán)值。表1中給出了僅考慮期望節(jié)約成本的報酬取值。

    (4)目標(biāo)函數(shù)

    決策目標(biāo)函數(shù)定為無限階段折扣模型，且折扣因子為β=0.9。系統(tǒng)決策優(yōu)化準(zhǔn)則即是在滿足系統(tǒng)準(zhǔn)確輸出要求的前提下，使INU即時可靠度與期望節(jié)約成本總體指標(biāo)期望值最大^[12-13]。

3 試驗分析性能評價

    策略迭代(policy iteration)算法也稱為策略空間逼近法，它是求解折扣MDP的一個有效方法^[9-11]。策略迭代法分兩步進(jìn)行，即策略求值與策略改進(jìn)。策略求值就是要求出最優(yōu)INU冗余度策略的一組相對值，策略改進(jìn)就是要確定每次迭代的最優(yōu)決策。每個階段的最優(yōu)決策不斷迭代，直到第k步與第k+1步迭代有A_k=A_k+1時計算結(jié)束，則A_k為最優(yōu)INU冗余度策略，此時INU冗余度即為最低要求的INU冗余度。

    假設(shè)INU冗余結(jié)構(gòu)中陀螺可靠度遵守二項分布，根據(jù)式(1)、式(4)可得在各狀態(tài)下采取不同決策的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，見表1。狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率根據(jù)表1可以更加直接地了解決策選擇過程。

    根據(jù)2.2節(jié)建立的模型，利用策略迭代算法，編制了最優(yōu)INU冗余度選擇算法的MATLAB程序。利用這個算法，可對考慮INU即時可靠度與期望節(jié)約成本總體指標(biāo)意義下的目標(biāo)函數(shù)T(z，P₀)進(jìn)行求解，計算出在不同的回報函數(shù)權(quán)值影響下，應(yīng)該確定的系統(tǒng)最優(yōu)INU冗余度。下面通過實際驗證證明本文提出的算法的合理性。

3.1 只考慮系統(tǒng)準(zhǔn)確輸出情況下的期望節(jié)約成本，令y=0，z=-1

    將表1中計算條件代入程序，得到策略迭代運(yùn)算結(jié)果如下：

    初始策略：F₁=[0 0 0 0 0 0 0]

    第一次迭代結(jié)果：F₂=[3 2 1 0 0 0 0]

    第二次迭代結(jié)果：F₃=[3 2 1 0 0 0 0]

    由計算知，經(jīng)過2次迭代，INU冗余度策略集合F₂=F₃，因此F^*=[3 2 1 0 0 0 0]是考慮INU期望節(jié)約成本意義下，INU長期運(yùn)行下的最優(yōu)配置策略，即INU結(jié)構(gòu)中有3個陀螺儀，恰好滿足系統(tǒng)準(zhǔn)確輸出最低要求，驗證了算法的合理性。

3.2 考慮INU即時可靠度與期望節(jié)約成本總體指標(biāo)，令y=100，z=-1

    將計算條件代入程序，可以得到策略迭代運(yùn)算結(jié)果如下：

    初始策略：F₁=[0 0 0 0 0 0 0]

    第一次迭代結(jié)果：F₂=[3 2 1 1 0 0 0]

    第二次迭代結(jié)果：F₃=[3 2 1 1 0 0 0]

    由計算知，經(jīng)過2次迭代，INU冗余度策略集合F₂=F₃，因此F^*=[3 2 1 1 0 0 0]是考慮INU即時可靠度與期望節(jié)約成本總體指標(biāo)意義下，INU長期運(yùn)行下的最優(yōu)配置策略，即INU結(jié)構(gòu)中有4個陀螺儀。

    綜合上述兩種不同優(yōu)化指標(biāo)，可見提高INU可靠度要求后，算法得出INU冗余結(jié)構(gòu)相對單純考慮成本指標(biāo)時須增加INU冗余度，從而算法可為INU冗余結(jié)構(gòu)設(shè)計提供合理的建議。

4 結(jié)論

    本文在分析INU可靠度指標(biāo)和計算方法的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了INU冗余度馬氏決策控制模型，利用策略迭代算法進(jìn)行驗證分析得出：基于INU即時可靠度與期望節(jié)約成本總體指標(biāo)或單獨(dú)指標(biāo)意義下，運(yùn)用馬氏決策控制模型得出的最優(yōu)INU冗余度是節(jié)約成本最高或可靠度與期望節(jié)約成本總體指標(biāo)最高的，且能夠滿足系統(tǒng)準(zhǔn)確輸出的要求。驗證分析中的具體數(shù)據(jù)是通過實際情況真實獲得的，因此用該模型計算出的結(jié)果具有較高的參考價值，能夠為SINS冗余可靠性設(shè)計提供建議。

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作者信息:

馮  楠1，張  黎2

(1.92941部隊41分隊，遼寧 葫蘆島125000；2.61905部隊，遼寧 沈陽110000)