楊義先，鈕心忻
（北京郵電大學 信息安全中心，北京 100876）
0引言
全人類，數千年來，都在玩“石頭剪刀布”，而且，玩出了無盡幸福！
由浙江大學、浙江工商大學、中國科學院等單位組成的跨學科團隊，在300多名志愿者的配合下，歷時4年，終于把“石頭剪刀布”玩成了“高大上”，其成果被評為“麻省理工學院科技評論2014年度最優”，這也是我國社科成果首次入選該頂級國際科技評論。
本文利用《安全通論》，只需一張紙、一支筆，就把“石頭剪刀布”玩成“白富美”。所謂“白”，即思路清清楚楚、明明白白；所謂“富”，即理論內涵非常豐富；所謂“美”，即結論絕對數學美。
1信道建模
設甲與乙玩“石頭剪刀布”。他們可分別用隨機變量X和Y來表示：
當甲出拳為剪刀、石頭、布時，分別記為X=0、X=1、X=2；
當乙出拳為剪刀、石頭、布時，分別記為Y=0、Y=1、Y=2。
根據概率論中的“大數定律”，頻率的極限趨于概率，所以甲乙雙方的出拳習慣，可以用隨機變量X和Y的概率分布表示為：
Pr(X=0)=p，即甲出“剪刀”的概率；
Pr(X=1)=q，即甲出“石頭”的概率；
Pr(X=2)=1-p-q，即甲出“布”的概率。這里0<p,q,p+q<1。
Pr(Y=0)=r，即乙出“剪刀”的概率；
Pr(Y=1)=s，即乙出“石頭”的概率；
Pr(Y=2)=1-r-s，即乙出“布”的概率。這里0<r,s,r+s<1。
同樣，還可以統計出二維隨機變量（X，Y）的聯合分布概率：
Pr(X=0,Y=0)=a，即甲、乙均出“剪刀”的概率；
Pr(X=0,Y=1)=b，即甲出“剪刀”、乙出“石頭”的概率；
Pr(X=0,Y=2)=1-a-b，即甲出“剪刀”，乙出“布”的概率。這里0<a,b,a+b<1。
Pr(X=1,Y=0)=e，即甲出“石頭”，乙出“剪刀”的概率；
Pr(X=1,Y=1)=f，即甲、乙均出“石頭”的概率；
Pr(X=1,Y=2)=1-e-f，即甲出“石頭”，乙出“布”的概率。這里0<e,f,e+f<1。
Pr(X=2,Y=0)=g，即甲出“布”，乙出“剪刀”的概率；
Pr(X=2,Y=1)=h，即甲出“布”，乙出“石頭”的概率；
Pr(X=2,Y=2)=1-g-h，即甲、乙均出“布”的概率。這里0<g,h,g+h<1。
由隨機變量X和Y，構造另一個隨機變量Z=［2(1+X+Y)］mod3。由于任意兩個隨機變量都可構成一個通信信道，所以，以X為輸入，以Z為輸出，可以得到一個通信信道（X；Z），稱為“甲方信道”。
如果在某次游戲中甲方贏，那么，就只可能有三種情況：
情況1：“甲出剪刀，乙出布”，即，“X=0，Y=2”，這也等價于“X=0，Z=0”，即“甲方信道”的輸入等于輸出；
情況2：“甲出石頭，乙出剪刀”，即，“X=1，Y=0”，這也等價于“X=1，Z=1”，即“甲方信道”的輸入等于輸出；
情況3：“甲出布，乙出石頭”，即，“X=2，Y=1”，這也等價于“X=2，Z=2”，即“甲方信道”的輸入等于輸出。
反過來，如果“甲方信道”將1比特信息成功地從發端送到了收端，那么，也只有三種可能的情況：
情況1:輸入和輸出都等于0，即，“X=0，Z=0”，這也等價于“X=0，Y=2”，即，“甲出剪刀，乙出布”，即，甲贏；
情況2:輸入和輸出都等于1，即，“X=1，Z=1”，這也等價于“X=1，Y=0”，即，“甲出石頭，乙出剪刀”，即，甲贏；
情況3:輸入和輸出都等于2，即，“X=2，Z=2”，這也等價于“X=2，Y=1”，即，“甲出布，乙出石頭”，即，甲贏。
綜合以上正反兩方面，共6種情況，可得到一個重要引理：
引理1：甲贏一次，就意味著“甲方信道”成功地把1比特信息從發端送到了收端；反之亦然。
再利用隨機變量Y和Z構造一個信道（Y；Z），稱之為“乙方信道”，它以Y為輸入，以Z為輸出。那么，仿照前面的論述，可得如下引理：
引理2：乙方贏一次，就意味著“乙方信道”成功地把1比特信息，從發端送到了收端；反之亦然。
由此可見，甲乙雙方玩“石頭剪刀布”的輸贏問題，就轉化成了“甲方信道”和“乙方信道”能否成功地傳輸信息比特的問題。根據仙農第二定理［3］可知：信道容量就等于該信道能夠成功傳輸的信息比特數。所以，“石頭剪刀布”的游戲問題就轉化成了信道容量問題。更準確地說，本文有如下定理：
定理1（“石頭剪刀布”定理）：如果剔除“平局”不考慮（即忽略甲乙雙方都出相同手勢的情況），那么，
（1）針對甲方來說，對任意k/n≤C，都一定有某種技巧（對應于仙農編碼）使得在nC次游戲中，甲方能夠勝乙方k次；如果在某m次游戲中，甲方已經勝出乙方u次，那么，一定有u≤mC。這里C是“甲方信道”的容量。
（2）針對乙方來說，對任意k/n≤D，都一定有某種技巧（對應于仙農編碼）使得在nD次游戲中，乙方能夠勝甲方k次；如果在某m次游戲中，乙方已經勝出甲方u次，那么，一定有u≤mD。這里D是“乙方信道”的容量。
（3）如果C<D，那么，整體上甲方會輸；如果C>D，那么，整體上甲方會贏；如果C=D，那么，甲乙雙方勢均力敵。
由于“甲方信道”和“乙方信道”的信道容量都有現成的計算公式，這里略去C和D的計算細節（有特殊興趣的讀者，可閱讀原文網址附件中的Word版本）。
2巧勝策略
由定理1可知，甲乙雙方在“石頭剪刀布”游戲中的勝負，其實事先就已經“天定”了，某方若想爭取更大的勝利，那他就必須努力“改變命運”。下面分幾種情況來考慮：
（1）兩個傻瓜之間的游戲
所謂“兩個傻瓜”，意指甲乙雙方都固守自己的習慣，無論過去的輸贏情況怎樣，他們都按既定習慣“出牌”。這時，由定理1已經知道：如果C<D，則整體上甲方會輸；如果C>D，則整體上甲方會贏；如果C=D，則甲乙雙方勢均力敵。
（2）一個傻瓜與一個智者之間的游戲
如果甲是傻瓜，他仍然堅持其固有的習慣“出牌”，那么，雙方對抗足夠多的次數后，乙方就可以計算出對應于甲方的，隨機變量X的分布概率p和q，以及相關的條件概率分布，并最終計算出“甲方信道”的信道容量，然后，再通過調整自己的習慣（即隨機變量Y的概率分布和相應的條件概率分布等），最終增大自己的“乙方信道”的信道容量，從而使得后續的游戲對自己更有利；甚至使“乙方信道”的信道容量大于“甲方信道”的信道容量，最終使得自己穩操勝券。
（3）兩個智者之間的游戲
如果甲乙雙方都隨時在總結對方的習慣，并對自己的“出牌”習慣做調整，即增大自己的信道容量。那么，最終甲乙雙方的“信道容量”值將趨于相等，即他們之間的游戲競爭將趨于平衡，達到動態穩定的狀態。
3簡化版本
雖然上面幾節完美地解決了“石頭剪刀布”游戲問題，但是，它們在保持“直觀形象”的優勢下，付出了“復雜”的代價。下面，給出一個更抽象、更簡捷的解決辦法。
設甲與乙玩“石頭剪刀布”，他們可分別用隨機變量X和Y來表示：
當甲出拳為剪刀、石頭、布時，分別記為X=0、X=1、X=2；
當乙出拳為剪刀、石頭、布時，分別記為Y=0、Y=1、Y=2。
根據概率論中的“大數定律”，頻率的極限趨于概率，所以甲乙雙方的出拳習慣可以用隨機變量X和Y的概率分布表示為：
0<Pr(X=x)=px<1，x=0,1,2，p0+p1+p2=1；
0<Pr(Y=y)=qy<1，y=0,1,2，q0+q1+q2=1；
0<Pr(X=x,Y=y)=txy<1，x,y=0,1,2，
∑0≤x,y≤2txy=1；
px=∑0≤y≤2txy，x=0,1,2；
qy=∑0≤x≤2txy，y=0,1,2。
“石頭剪刀布”游戲的輸贏規則是：若X=x，Y=y，那么，甲（X）贏的充分必要條件是：(y-x)mod3=2。
現在構造另一個隨機變量F=(Y-2)mod3。考慮由X和F構成的信道（X；F），即，以X為輸入，以F為輸出的信道。那么，就有如下事件等式：
若在某個回合中，甲（X）贏了，那么就有(Y-X)mod3=2，從而，F=(Y-2)mod3=［(2+X)-X］mod3=X，也就是說：信道（X；F）的輸入（X）始終等于它的輸出（F）。換句話說，1個比特就被成功地在該信道中從發端傳輸到了收端。
反過來，如果“1個比特被成功地在該信道中從發端傳輸到了收端”，那么就意味著“信道（X；F）的輸入（X）始終等于它的輸出（F）”，也就是說：F=(Y-2)mod3=X，這剛好就是X贏的充分必要條件。
結合上述正反兩個方面的論述，有：甲（X）贏一次，就意味著信道（X；F）成功地把1比特信息從發端送到了收端；反之亦然。因此，信道（X；F）也可以扮演第2節中“甲方信道”的功能。
類似地，若記隨機變量G=(X-2)mod3，那么，信道（Y；G）就可以扮演前面“乙方信道”的角色。
而信道（X；F）和（Y；G）的信道容量的形式會更簡捷，它們分別是：
（X；F）的信道容量=MaxX［I(X,F)］=MaxX［I(X,(Y-2)mod3)］=MaxX［I(X,Y)］=MaxX［∑txylog(txy/(pxqy))］，這里的最大值是針對所有可能的txy和px而取的，所以，它實際上是q0，q1，q2的函數。
同理，（Y；G）的信道容量=MaxY［I(Y,G)］=MaxY［I(Y,(X-2)mod3)］=MaxY［I(X,Y)］=MaxY［∑txylog(txy/(pxqy))］，這里的最大值是針對所有可能的txy和qy而取的，所以，它實際上是p0，p1，p2的函數。
其他討論與前面幾節相同，不再重復。
4結束語
“攻防”是安全的核心，所以，在建立“安全通論”的過程中，多花一些精力去深入研究“攻防”也是值得的。
在參考文獻［2］中，研究了“安全通論”的盲對抗問題，本文研究的“石頭剪刀布”游戲則是一種“非盲對抗”，但由于它的普及率極高（幾千年來，全世界每個人在童年時代幾乎都玩過），所以，我們單獨以一篇論文的形式來研究它。有關其他一些有代表性的“非盲對抗”，將在后續文章中研究。
當然，換一個角度來看，也可以說，我們的“安全通論”雖然剛剛誕生，但它已大顯身手，成功地掃清了古老“石頭剪刀布”游戲中的若干迷霧。所以，“安全通論”確定大有前途。
參考文獻
［1］ 楊義先，鈕心忻.安全通論（1）——經絡篇［J］.微型機與應用，2016，35（15）：14.
［2］ 楊義先，鈕心忻.安全通論（2）——攻防篇之“盲對抗”［J］.微型機與應用，2016，35（16）：1 5.
［3］ COVER T M， THOMAS J A著.信息論基礎［M］，阮吉壽，張華，譯.北京：機械工業出版社，2007.
［4］ Lin Shu， COSTELLO JR D J著.差錯控制碼［M］.晏堅，何元智，潘亞漢，等，譯.北京：機械工業出版社，2007.