摘  要： 采用直流電動(dòng)機(jī)的實(shí)測參數(shù)建立直流電動(dòng)機(jī)的模型；提出了PID控制系統(tǒng)框圖，并給出了該電動(dòng)機(jī)的離散時(shí)間PI轉(zhuǎn)速控制器和PD位置控制器；通過MATLAB/Simulink仿真實(shí)驗(yàn)，分析所設(shè)計(jì)系統(tǒng)在電動(dòng)機(jī)空載和有載時(shí)的性能。實(shí)驗(yàn)表明，所設(shè)計(jì)的控制器具有良好的動(dòng)態(tài)性能，對(duì)于電動(dòng)機(jī)的負(fù)荷變化具有很強(qiáng)的魯棒性。同時(shí)對(duì)面向?qū)嶋H應(yīng)用的PID控制設(shè)計(jì)問題，進(jìn)行了相應(yīng)的分析和討論。

　　關(guān)鍵詞： PID控制；直流電動(dòng)機(jī)；建模與仿真；速度控制；位置控制

　　電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速和位置的控制是汽車、挖掘機(jī)等機(jī)械系統(tǒng)中最常見的控制問題。人們已經(jīng)提出了若干現(xiàn)代控制方法和算法，例如自適應(yīng)控制、模糊控制、預(yù)測控制、專家控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等[1－3]。然而，實(shí)踐和實(shí)驗(yàn)表明，在實(shí)際產(chǎn)品的研發(fā)中，PID控制因其出色的適應(yīng)性、有效性和魯棒性等特點(diǎn)，仍是研發(fā)者的首選控制方法。可以說，PID是歷史最久、生命力最強(qiáng)的控制方式

　　在闡述PID方法的文獻(xiàn)中[4-5]，一般采用圖1所示的典型控制系統(tǒng)框圖，但是在實(shí)際系統(tǒng)的PID控制設(shè)計(jì)中，直接應(yīng)用圖1是有問題的。面向?qū)嶋H應(yīng)用的PID控制問題，應(yīng)該采用圖2所示的系統(tǒng)方框圖進(jìn)行設(shè)計(jì)。

　　本文依據(jù)某公司一款直流電動(dòng)機(jī)的實(shí)測參數(shù)建立電動(dòng)機(jī)的連續(xù)時(shí)間數(shù)學(xué)模型，采用圖2所示的控制系統(tǒng)框圖設(shè)計(jì)該電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速和位置的離散時(shí)間PID控制器，通過仿真實(shí)驗(yàn)分析所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的控制性能，并對(duì)設(shè)計(jì)中的有關(guān)問題進(jìn)行分析和討論。

1 建模和PID控制設(shè)計(jì)

　　1.1 直流電動(dòng)機(jī)的連續(xù)時(shí)間模型

　　假定轉(zhuǎn)子和軸都是剛性的。直流電動(dòng)機(jī)的等效電路和機(jī)械參量如圖3所示，其中R和L分別為電機(jī)的等效電阻和電感，e是電機(jī)的反電勢，是電機(jī)的角速度，T是電機(jī)的轉(zhuǎn)矩，b是機(jī)械系統(tǒng)阻尼率，J是電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩T正比于電流，反電動(dòng)勢e正比于電動(dòng)機(jī)角速度，即有[4]：

　　其中，Kt和Ke分別為電樞常數(shù)和電動(dòng)勢常數(shù)，在國際單位制下兩者相等，即：

　　Kt=Ke=K（3）

　　根據(jù)Kirchhoff定律和Newton定律，結(jié)合式（1）、式（2），由圖3可得直流電動(dòng)機(jī)所滿足的方程為：

　　式（8）即為轉(zhuǎn)角位置控制下直流電動(dòng)機(jī)的連續(xù)時(shí)間模型。當(dāng)考慮速度控制時(shí)，系統(tǒng)輸出是d?茲/dt，因此速度控制下電動(dòng)機(jī)的模型為：

　　其中電機(jī)的實(shí)驗(yàn)室實(shí)測參數(shù)為：電阻R=4 ，電感L=  2.75×10-6 H，電動(dòng)勢常數(shù)K=0.027 4 Nm/Amp，機(jī)械阻尼率b=3.5077×10-6 Nms，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=3.2284×10-6 kg·m2/s2。上述參數(shù)分別代入式（8）和式（9）后得：

　　1.2 連續(xù)時(shí)間PID控制

　　圖1中PID控制的輸入輸出關(guān)系為：

　　其中，Kp、Ki、Kd分別為比例、積分和微分增益。由式（12）可得PID控制器的系統(tǒng)函數(shù)為：

　　本文設(shè)計(jì)采用圖2所示系統(tǒng)，其中的電機(jī)控制特性單元將位置或轉(zhuǎn)速誤差相關(guān)信息u（t）轉(zhuǎn)換為電機(jī)控制電壓v（t）。

　　當(dāng)將電機(jī)用式（8）或式（9）的數(shù)學(xué)模型表示時(shí)，電機(jī)是一個(gè)線性系統(tǒng)，其控制特性可以通過對(duì)階躍響應(yīng)的分析確定，通常為一個(gè)比例環(huán)節(jié)，即有：

　　設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題就是根據(jù)被控對(duì)象確定Kp、Ki、Kd和Kv，使得閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性滿足要求。

　　1.3 電機(jī)轉(zhuǎn)速PID控制設(shè)計(jì)

　　在轉(zhuǎn)速控制設(shè)計(jì)時(shí)，該電機(jī)的模型為系統(tǒng)函數(shù)Hs（s），Hs（s）的單位階躍響應(yīng)如圖4所示。由圖可知：

　　（1）階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值[6]為y（∞）=sHs（s）=35.83 rad/s。考慮到在正常工作范圍內(nèi)，電機(jī)轉(zhuǎn)速具有較好的線性控制特性，因此取：

　　Kv0.02791 V（16）

　　（2）該電機(jī)的穩(wěn)定時(shí)間約為115 ms。

　　轉(zhuǎn)速控制的設(shè)計(jì)要求：（1）閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)無超調(diào)振蕩；（2）閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的穩(wěn)定時(shí)間小于40 ms；（3）閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)無穩(wěn)態(tài)誤差。

　　本文對(duì)于轉(zhuǎn)速采用PI控制，滿足設(shè)計(jì)要求的各增益參數(shù)為Kv=0.027 91、Kp=5、Ki=275，穩(wěn)定時(shí)間約為25 ms，階躍響應(yīng)曲線如圖5中的實(shí)線所示。作為對(duì)比，圖5同時(shí)還給出了開環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（虛線）和單純P控制時(shí)的單位階躍響應(yīng)（點(diǎn)劃線），可以看到動(dòng)態(tài)性能得到有效的改善。

　　1.4 電機(jī)轉(zhuǎn)角PID控制設(shè)計(jì)

　　在轉(zhuǎn)角控制設(shè)計(jì)時(shí)，該電機(jī)的模型為Hp（s），其單位階躍響應(yīng)如圖6所示。

　　轉(zhuǎn)角位置控制中，除穩(wěn)定時(shí)間小于30 ms外，其他設(shè)計(jì)要求與速度控制類似。本文采用PD控制，所設(shè)計(jì)的增益參數(shù)為Kp=270、Kd=4.5，穩(wěn)定時(shí)間約為20 ms，階躍響應(yīng)曲線如圖7中的實(shí)線所示。作為對(duì)比，圖7同時(shí)還給出了開環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（底部虛線）和單純P控制時(shí)的單位階躍響應(yīng)（點(diǎn)劃線）。可以看到微分環(huán)節(jié)對(duì)于消除過調(diào)量有著顯著的作用。

　　1.5 離散時(shí)間PID控制設(shè)計(jì)

　　實(shí)現(xiàn)離散PID控制有多種方法[6]，這里采用雙線性變換將前面的連續(xù)PID控制轉(zhuǎn)換為離散PID控制。雙線性變換公式為：

　　實(shí)際應(yīng)用中只需實(shí)現(xiàn)PID控制器的離散化。圖8、圖9分別為轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)角控制下，離散閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，可以看到其特性滿足要求。與式（19）和式（20）對(duì)應(yīng)的離散PID計(jì)算公式分別為：

　　us（n）=us（n-1）+5.1375e（n）-4.8625e（n-1）（21）

　　up（n）=-up（n-1）+9270e（n）-8370e（n-1）（22）

　　2 有載電機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)

　　當(dāng)電機(jī)加載工作時(shí)，負(fù)載的變化會(huì)導(dǎo)致電動(dòng)機(jī)扭矩的變化，從而引起電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速的變化。對(duì)于絕大多數(shù)電動(dòng)機(jī)，扭矩和轉(zhuǎn)速間的關(guān)系可以用圖10所示的線性模型很好地近似，即：

　　仿真中采用圖11所示的系統(tǒng)進(jìn)行有載模擬實(shí)驗(yàn)，圖12~圖13是有載仿真實(shí)驗(yàn)舉例。其中，假定負(fù)載引起的轉(zhuǎn)速變化范圍為[-80，80]（rpm），n（t）是周期為0.5 s的對(duì)稱三角波。圖13是有載情況下電動(dòng)機(jī)輸出的轉(zhuǎn)速。可以看到，即使負(fù)載導(dǎo)致轉(zhuǎn)速有很大的變化（趨勢），所設(shè)計(jì)的PI控制器仍然能有很好的轉(zhuǎn)速控制作用。

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　　（收稿日期：2014-03-21）