0 引 言
IIR濾波器不易做成線性相位，FIR濾波器只要滿足一定條件就可做成線性相位，而現代圖像、語聲、數據通信對線性相位的要求是普遍的，因此具有線性相位的FIR數字濾波器得到廣泛的發展和應用。
FIR濾波器有傳統的設計方法，如窗函數法、頻率采樣法、切比雪夫逼近法等；之后也有一些優化設計算法，如Remez交換算法、線性規劃算法、加權最小二乘法、遞推最小二乘法。雖然這些算法在一定程度上改善了傳統方法的局限性，但這些方法自身也存在著一些不足。之后，曾喆昭等人提出了一種基于余弦基神經網絡的算法，給出了該算法的收斂條件，并將其應用到高階多通帶FIR濾波器中，用實例說明了該算法在精度、計算速度等方面的優越性。基于這種算法，有人分別將其在數域和維數上做出了推廣。
本文提出的方法，是基于余弦基神經網絡設計方法的一種改良，其基本思想首先是使設計頻響與理想頻響之間的全局誤差在通帶和阻帶范圍最小，其次再使用模擬退火算法，以最小阻帶衰減為評價函數優化網絡權值，使最后的結果朝著最優值靠近。由該方法設計的濾波器，通帶和阻帶范圍無過沖、無波動，且阻帶的衰減高，初始條件隨機給定，算法速度快，因而是一種有效的設計方法。
1 I型線性相位FIR濾波器的幅頻特性
若脈沖響應h(n)是實序列，且滿足h(n)=h(N-1-n)，N為脈沖響應h(n)的長度，并且N為奇數，則有：
容易看出，此式是由(N+1)／2個余弦項迭加而成的函數，而此函數在ω=0，π，2π處均不等于零，因此I型線性相位FIR濾波器既可以用作低通濾波器(在ω=0處，幅度函數不為零)，也可用作高通濾波器(在ω=π處，幅度函數不為零)，而且也可以用作帶通和帶阻濾波器，是應用最為廣泛的。
2 余弦基神經網絡
在網絡結構方面，如圖1所示，類似于BP網絡的結構：
輸入層和輸出層都只有一個節點，隱含層有M個節點，且各節點對應的激勵函數如下：
式中：M=（N-1）/2
再令輸入層到隱含層的全值都為1，而隱含層到輸出層的權值ω0～ωM分別取為a0～aM，于是神經網絡的輸入／輸出關系就恰好為濾波器的幅度函數
網絡學習算法方面，也可以采用類似BP網絡的學習算法。
首先定義權值矩陣：
設置性能指標：
為訓練樣本數。
于是權值修正的公式為：
式中：α為學習速率。
迭代的終止條件可設為性能指標J滿足一定條件，而關于學習速率α的選取會直接影響到神經網絡的穩定性。目前，已經有人提出了其適當的選取范圍，例如羅玉雄等人已經證明，當滿足0<α<(2／|| C ||2)時(這里||·||2表示的是歐氏范數的平方)，神經網絡是穩定的；曾喆昭等人也提出并證明了當滿足0<α<(4／N)時，神經網絡是穩定的。
3 模擬退火算法
由于以上的網絡學習算法從本質上來說，還是一種BP算法，所以不可避免地會存在BP算法的缺陷，初始值的選取會影響最終結果，且容易陷入局部極小值。
模擬退火算法與初始值無關，算法求得的解與初始解狀態(是算法迭代的起點)無關；模擬退火算法具有漸近收斂性，在理論上已得到嚴格證明，當初溫充分高，降溫足夠慢，每一溫度下抽樣足夠長，最終溫度趨于零時，算法最終以概率1收斂到全局最優解。模擬退火算法通過概率判斷來接受新狀態是算法在局部極小解處有機會跳出并最終趨于全局最優的根本原因。于是將模擬退火算法加到前面的算法中去，就可以很好地彌補上述算法的不足。
模擬退火算法的步驟如下：
(1)由一個產生函數從當前解S產生一個位于解空間的新解S'。
(2)計算與新解所對應的目標函數差。這里以最小阻帶衰減為評價函數C(S)，這個函數可以由所得解S輕易地求出，于是目標函數差△t=C(S')-C(S)；
(3)判斷新解是否被接受，其依據是一個接受準則，最常用的接受準則是Metropolis準則。若△t≥0，則接受S'作為新的當前解S；否則，以概率exp(-△t／T)接受S'作為新的當前解S。
(4)當新解被確定接受時，用新解代替當前解，同時修正評價函數。此時，當前解實現了一次迭代，可在此基礎上開始下一輪試驗；當新解被判定為舍棄時，則在原當前解的基礎上繼續下一輪試驗。
將模擬退火融入原算法，其實主要是用原算法來實現模擬退火中第(1)步的產生解S，于是可得到總的算法：
(1)初始化，初始溫度T(充分大)，初始解狀態S(是算法迭代的起點)，每個T值的迭代次數L，初始權值W，性能指標J，學習速率α，并且設定目標向量(理想幅頻響應Hg(ωk))；
(2)對k=1，2，…，L做第(3)～(8)步驟；
(3)計算誤差E(k)，使用權值修正公式：W=W+αE(k)C(Ωk)修正權值；
(4)滿足性能指標J轉步驟(5)，否則轉步驟(3)；
(5)由步驟(4)產生的W得出新解S'；
(6)以濾波器的最小阻帶衰減為評價函數，計算△t，其中△t=C(S)-C(S)；
(7)若△t>0，則接受S'作為新的當前解，否則以概率exp(-△t／T)接受S'作為新的當前解；
(8)如果滿足終止條件，則輸出當前解作為最優解，終止條件通常取為連續若干個新解都沒有被接受；
(9)減小T，轉步驟(2)。當T→0時，終止算法。
4 仿真實例
例1：設計一線性相位高通FIR濾波器，其理想幅頻特性為：
對Ω在[0，π]范圍內均勻取樣，共取(N+1)／2＝60個樣點，即Ωk=πk／59(k=0，1，2，…，59)，為了使通帶和阻帶內無過沖、無波動，在過渡帶內取兩個點0．78和0．25，于是實際的幅頻取樣點為Hd(k)=[zeros(1，29)，0．25，0．78，ones(1，29)]；網絡結構取為1×60×1，性能指標設置為J=10-8。
經過計算機仿真得到如圖2和圖3的仿真圖。
例2：設計一線性相位帶阻FIR濾波器，其理想幅頻特性為：
與例1類似，對Ω在[0，π]范圍內均勻取樣，共取(N+1)／2＝60個樣點，即Ωk=πk／59，(k=0，1，2，…，59)，同樣地，為了使通帶和阻帶內無過沖，無波動，在過渡帶內取兩個點0．78和0．25，于是實際的幅頻取樣點為Hd(k)=[ones(1，17)，0．78，0．25，zeros(1，16)，0．25，0．78，ones(1，23)]；網絡結構取為1×60×1，性能指標設置為J=10-8。
經過計算機仿真得到如圖4和圖5的仿真圖。
通過仿真，可以和與文獻[2]中的算法相比較。在這里以例1中的情形為例，兩種方法各運行10次，取最后得到的最小阻帶衰減(單位：dB)和程序的運行時間(單位：s)來比較：
文獻[2]中的算法：
兩者相比較可得，雖然在運行時間上本文的算法遜于文獻[2]中的算法，但這個運行時間本身也僅0．5 s左右，是可以接受的。在性能上本文的算法得出的結果幾乎都在-190 dB左右，而文獻E23中算法得出的結果則在-77～-93 dB之間波動，因此可以說用本文的算法可以得到更好、更穩定的最小阻帶衰減。
5 結 語
本文提出了一種基于經優化算法優化過的神經網絡設計FIR濾波器的方法。這一方法的特點是先用類似BP網絡的方法調整神經網絡權值，再用模擬退火技術進行優化，獲取更好的FIR濾波器的脈沖響應，從而完成濾波器的設計。由文中給出的兩個范例可以看出，設計濾波器的幅頻響應在通帶與阻帶范圍均無過沖現象，衰耗特性好，阻帶最小衰減在190 dB以上，通帶沒有衰減。而且這種方法可以輕松地實現低通、高通、帶通、帶阻FIR濾波器的設計，程序運行時間均在0．5 s左右，是一種十分有效的設計方法。當然此算法也有改進的余地，比如在算法中過渡帶的選取都是0．25和0．78。而事實上，對于不同的幅頻特性，過渡點的選取可影響到最終設計的FIR濾波器的性能。通過優化過渡點的位置，可以使FIR濾波器的幅頻特性在過渡點處更為平滑，并且有更好的最好阻帶衰減。比如在文獻[9]中，就有用遺傳算法優化過渡點的方法。