摘 要： 介紹了一種新的基于三維離散余弦變換的彩色圖像壓縮方法。該方法把彩色圖像看作是一種三維信號，通過三維離散余弦變換，不僅去除了圖像R、G、B分量內的相關性，同時能夠去除R、G、B分量之間的相關性，因此，在保留圖像質量的同時，能夠達到更高的壓縮率。另外，該方法還具有簡單、速度快等優點。實驗表明，這是一種好的壓縮方法。
關鍵詞： 離散余弦變換；圖像壓縮；彩色圖像；圖像處理
隨著科技的發展以及人們對物質精神文化的追求，信息已經成為時代的重要特征,而圖像是人們傳遞信息的主要途徑之一。由于一幅沒有壓縮的圖像的數據原始量太大，給圖像的傳輸和存儲帶來很大的不便。因此,圖像壓縮算法成為圖像處理領域重要的課題,各種新穎、高效率的圖像壓縮算法層出不窮。
和R、G、B所決定的，因此，可以把每一個灰度值表示為f(x,y，u),其中x、y表示像素點的位置坐標，u表示的是R分量、G分量還有B分量。可以約定，u=1時，表示的是R分量；u=2時，表示的是G分量；u=2時，表示的是B分量。這樣，就可以把一幅彩色圖像表示成為一個三維信號。
圖像壓縮是指在保證一定的圖像質量的情況下，用盡可能少的數據來表示該圖像。能夠對圖像進行壓縮的原因是圖像的原始數據當中存在著信息冗余，去除或者減少這些冗余信息，就能夠用更少的數據來表示圖像，起到壓縮圖像的目的。
1 DCT變換和基于DCT變換的信號壓縮原理
1.1 一維DCT變換和二維DCT變換
離散余弦變換(DCT)誕生于1974年,由AHMED和RAO首先給出了它的定義式。
一維和二維DCT變換及其逆變換的定義式可參看參考文獻[1]和參考文獻[2]。一維DCT和二維DCT變換都有正變換及其對應的逆變換。正變換把信號變換到頻域，然后由逆變換重構信號。把信號變換到頻域，就可以利用頻域的一些特點對信號進行處理，從而取得良好的效果。
1.2 DCT系數的聚集性和基于DCT變換信號壓縮原理 DCT變換具有K-L變換近似的良好性質，信號經過DCT變換后，能量具有集中性，表現在DCT變換后，數值大的系數會集中在特定的區域，這個性質可以用來進行信號壓縮。在進行信號存儲或者信號傳輸時，僅僅存儲或者傳輸數值大的數據，省略數值小的數據，從而起到壓縮的作用。由于數值大的系數都會集中在特定的區域，因此處理起來就非常方便。
重構信號時，把省略了的數值用0代換，然后進行逆變換，就能夠得到原信號。在壓縮和解壓縮過程中，因為忽略了DCT系數中的一些很小的數值，所以重構出來的信號與原來的信號相比會有誤差，這是一種有損壓縮。DCT系數矩陣系數保留得越多，重構的信號與原來的就越接近；系數保留得越少，重構信號質量就會下降得越多。
式(8)是三維DCT變換用于彩色圖像壓縮的矩陣表達形式。彩色圖像的R、G、B分量經過變換之后，變成了頻域的DCT系數，極大地去除了原始圖像數據的相關性。根據DCT系數矩陣數值的特點，僅保留少數在左上角較大的系數，而忽略右下角近似為零的系數，從而把圖像進行了壓縮。然后用處理后的DCT系數逆變換，重構原始圖像：
通過以上4個步驟，就可以對彩色圖像進行大壓縮比的壓縮。當原始的彩色圖像需要進行存儲和傳輸時，僅僅存儲和傳輸經過取舍得到的上述3個矩陣的數值就可以了,數據量比原始圖像大大地減少了。那么如何用這些數據重構原始圖像呢？重構圖像與圖像壓縮是逆過程，步驟如下。
(1)把經過系數取舍的系數矩陣Xc(k,l,0)、Xc(k,l,1)和Xc(k,l,2)，對省略了的系數以0代替，每個矩陣恢復到大小為8×8的矩陣,然后分別進行二維DCT逆變換；
(2)利用式(9)計算出每一小塊R、G、B分量的值；
(3)將每一小塊按原來的位置合并成一幅完整的圖像。
由于系數矩陣Xc(k,l,0)、Xc(k,l,1)和Xc(k,l,2)的系數經過取舍舍去了一些值很小的系數，因此重構的圖像與原來的圖像是有所區別的。但適當控制壓縮比，得到的圖像質量還是相當好，與原來圖像差別不大。
3 實驗結果
對圖像壓縮算法的好壞評價標準主要有兩方面:一是壓縮比，在滿足一定的圖像質量前提下，壓縮比越大越好；二是圖像質量，壓縮后的圖像應該是人眼可以接受的，壓縮后的圖像的質量不能退化得太厲害，如壓縮后的圖像與原來圖像相比已經面目全非，那么這個圖像壓縮就沒有意義了。
壓縮比是一個很客觀的指標，就是原來圖像的數據量與壓縮后圖像數據量的比值，即壓縮比=原圖像數值大小/壓縮后的圖像數值大小。對于圖像質量好壞的評價，目前并沒有通行的標準，可以說是一項很主觀的工作。當然，圖像質量也有一些客觀的指標，例如均方誤差(MSE)、峰值信噪比(PSNR)，但這些客觀的指標并不完美，有一定的局限性，并不能完全反映人的感受，與人對圖像的主觀感受并不完全一致。因此,觀察者仍然是圖像質量優劣的最終判斷者。
本文采用512×512的彩色圖像作為測試圖像，以驗證本算法的有效性，結果如圖1所示。壓縮后圖像質量主要是采用主觀評價方法，以人眼看不出與原始圖像有差別的前提下，能夠達到的最大壓縮比。
其中，圖1(a)是原始圖像，圖1(b)保留了DCT系數矩陣Xc(k,l,0)中左上角5×5個系數，Xc(k,l,1)中左上角4×4個系數，Xc(k,l,2)中左上角3×3個系數，壓縮比為4:1;圖1(c)保留了DCT系數矩陣Xc(k,l,0)中左上角3×3個系數，Xc(k,l,1)中左上角2×2個系數，Xc(k,l,2)中左上角1×1個系數，壓縮比14:1;圖1(d)保留了DCT系數矩陣Xc(k,l,0)中左上角2×2個系數，Xc(k,l,1)中左上角1×1個系數，Xc(k,l,2)中左上角1×1個系數，壓縮比為32:1。
從實驗結果可以看出，當壓縮比為4:1時,壓縮后的圖像很好地保留了原來圖像的色彩和細節,從肉眼看，與原來圖像差別不大；當壓縮比為14:1時，圖像質量沒有明顯改變，色彩與細節方面沒有明顯變差，肉眼看依然可以接受；當壓縮比為32:1時，從圖像邊緣上可以看到一些鋸齒狀的痕跡，有些模糊，細節有所缺失，但顏色依然與原圖像保持一致。因此，本文算法在壓縮比達到14:1時，能夠保持很好的圖像質量，做到壓縮比與圖像質量的平衡。
本文在傳統的二維DCT變換的基礎上提出了三維DCT變換，并將其用于彩色圖像壓縮。而在壓縮算法中，將其轉化為二維DCT變換,減少了算法的復雜度和運算量。通過一系列實驗，表明該算法具有壓縮比大、算法簡單和速度快的特點。
參考文獻
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