傅立葉變換是一種將信號從時域轉變為頻域表示的變換形式，它是數字信號處理中對信號進行分析時經常采用的一種方法。信號的一些特性在時域總是表現得不明顯，通過傅里葉算法，將其變換到頻域，其特性就一目了然。例如，來自供電系統的干擾在時域上總是不易識別，但是在頻域上就可以很清晰地看到50～60 Hz的離散諧波。
在計算機系統中，實際上是以離散傅立葉變換(DFT)的方式處理數據。由于DFT的運算量比較大，并不適用于嵌入式控制系統，所以實際應用中常使用DFT 的快速算法一快速傅立葉變換(FFT)。雖然FFT 比DFT的計算量減少了很多，但用普通單片機來實現FFT多點、實時運算還是比較困難的。DSP(數字信號處理器)具有運算速度快和精度高的特點，恰好滿足FFT的要求，能較好地解決這個問題。
1 快速傅里葉變換的原理
非周期性連續時間信號x(t)的傅里葉變換可以表示為
式中計算出來的是信號x(t)的連續頻譜。但是，在實際的控制系統中能夠得到的是連續信號x(t)的離散采樣值x(nT)。因此需要利用離散信號x(nT)來計算信號x(t)的頻譜。
有限長離散信號x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定義為：
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可以看出，DFT需要計算大約N2次乘法和N2次加法。當N較大時，這個計算量是很大的。利用WN的對稱性和周期性，將N點DFT分解為兩個N／2點的 DFT，這樣兩個N／2點DFT總的計算量只是原來的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2，這樣可以繼續分解下去，將N／2再分解為N／4點 DFT等。對于N=2m 點的DFT都可以分解為2點的DFT，這樣其計算量可以減少為(N／2)log2N次乘法和Nlog2N次加法。圖1為FFT與DFT-所需運算量與計算點數的關系曲線。由圖可以明顯看出FFT算法的優越性。
將x(n)分解為偶數與奇數的兩個序列之和，即
x1(n)和x2(n)的長度都是N／2，x1(n)是偶數序列，x2(n)是奇數序列，則
其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N／2點DFT。由
于X1(k)和X2(k)均以N／2為周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示為：
上式的運算可以用圖2表示，根據其形狀稱之為蝶形運算。依此類推，經過m-1次分解，最后將N點DFT分解為N／2個兩點DFT。圖3為8點FFT的分解流程。
FFT算法的原理是通過許多小的更加容易進行的變換去實現大規模的變換，降低了運算要求，提高了與運算速度。FFT不是DFT的近似運算，它們完全是等效的。
2 快速傅里葉算法在TMS320LF2407上的實現
根據FFT算法的特點，處理器要在一個指令周期內完成乘和累加的工作，因為復數運算要多次查表相乘才能實現。其二就是間接尋址，可以實現增／減1個變址量，方便各種查表方法。再次，FFT變換的輸入序列x(n)是按所謂的碼位倒序排列的，處理器要有反序間接尋址的能力。DSP控制器專門設計了特有的反序間接尋址，并能在一個指令周期內完成乘和累加的運算。因此，對數字信號的分析處理，DSP比其它的處理器有絕對的優勢。本文采用TI公司C2000系列TMS320LF2407芯片來實現FFT算法。
TMS320LF2407定點DSP是一款專為工業控制、電機控制和數字信號處理等用途而設計的DSP，具備單周期乘加指令，具有FFT反序間接尋址功能，最高運行速度為40MIPS。為了充分利用DSP芯片特有的反序間接尋址等功能，FFT算法程序采用匯編語言編寫，主程序采用C語言，因此程序具有良好的兼容性和可擴展性。
主程序流程圖如圖4所示。系統初始化主要完成DSP的系統控制和狀態寄存器、等待狀態發生器控制寄存器、中斷寄存器等的必要設置。
本程序采樣函數為：x=sin(20πt)，采樣頻率為640Hz。
輸入數據波形如圖5所示。一般情況下，我們只關心信號頻域的幅度譜。幅度譜|X(k)|2的計算：X(k)=XR(k)+jX(k)，|X(k)2|=|Xr(k)|2+|Xi(k)|2。FFT計算結果的信號幅度譜|X(k)|2如圖6所示。
輸入信號頻率是10Hz，根據公式f=kfs／N，f是原始信號的頻率，k表示峰值出現的位置，fS是采樣頻率，N是計算的點數，從幅度譜中看出，峰值出現在k=1處，那么，f=1×640／64=10，與原始信號的實際頻率一致，說明計算結果正確。
3 快速傅里葉變換(FFT)的應用
FFT在生產實踐和科學研究中有著廣泛的應用。圖7為FFT的典型應用方案。下面簡單介紹一下FFT的應用領域。
(1)頻譜分析。對各類旋轉機械、電機、機床等機器的主體或部件進行實際運行狀態下的頻譜分析，可以提供設計數據和檢驗設計結果，或者找尋震源和診斷故障，保證設備的安全運行等。在聲納系統中，為了尋找海洋水面船只或潛艇，需要對噪聲信號進行頻譜分析，以提供有用信息，判斷艦艇運行速度、方向、位置、大小等。
(2)濾波。濾波是FFT最廣泛的應用，它使對波形的頻率分量濾波變得十分簡單。比如對采樣信號進行FFT后，去掉不需要的頻率分量，再進行FFT反變換，就得到濾波后的期望信號。
(3)電力監控系統的諧波分析。電力監控系統的諧波分析，需要對采樣數據進行FFT運算，然后通過液晶屏或其它人機界面重新繪畫出來，以方便技術人員掌握電力的質量。
4 總結
實驗證明，此程序在TMS320LF2407定點DSP中運行良好，速度快且運算結果十分可靠，其用于一般的信號處理和工業控制都能滿足精度和實時的要求，具有較高的學術價值和良好的應用前景。其次，掌握FFT，學會在空域和頻域中同時思考問題，很多時候可以讓我們使用簡單的方法來解決復雜的問題。