自20世紀70年代被提出以來，預測控制相對傳統PID控制的很多優勢令其在工業過程應用中產生了重要和廣泛的影響。預測控制的方法有很多種，例如：動態矩陣控制(DMC)、擴展的預測自適應控制(EPSAC)、模型算法控制(MAC)、預測函數控制(PFC)、二次動態矩陣控制(QDMC)、序貫開環最優控制(S0L0)，以及廣義預測控制(GPC)等，統稱為"模型預測控制"(modelDredictive Control，MPC)。預測控制的基本原理類似于利用內部模型的狀態或輸出預測，同時應用有限預測時域的滾動計算思想和反饋及預測校正，最后采用了對某個系統性能指標的最優化計算，以確定在一個控制時域內的最優控制序列。本文通過數學推導為預測控制和PID控制建立起一種廣義聯系，并在此基礎上，詳細闡述了基于GPC的自適應PID控制器的設計方法，具體應用到了電站鍋爐氧含量的自動控制上。
煙氣氧含量的多少直接反映了燃燒狀況，氧含量過低會造成燃燒不完全，既增加煤耗又污染環境。煙氣氧含量同時也是環保的重要指標，氧含量過高會使送風機、引風機電耗增加，還會造成煙氣中二氧化硫及氮氧化物排放量的增加。
鍋爐煙氣氧含量自動控制的目的是為了最大限度地實現燃燒的最優化，合理調整風煤比。許多電站機組的氧含量自動控制沒能很好投入，其主要原因是由于氧含量自動控制系統參數優化不理想，在面對電站鍋爐負荷變化，煙氣氧含量設定值不同的情況時，控制系統不能快速跟蹤設定值，甚至出現反復震蕩的現象。本文采用的基于GPC的PID控制方法既可以克服傳統定值PID的動態響應差的問題，而且具有一定的自適應特性，適合實時在線控制。
1 預測控制與PID控制的廣義聯系
1．1 PID控制法則
增量形式的PID控制法則描述如下：
其中，
式中：u(t)、y(t)、w(t)分別為系統輸入、輸出信號和參考輸入信號，kc、TI和TD分別為比例增益、積分時間常數和微分時間常數，Ts為采樣時間，△=1-z-1為差分算子。
為方便計算，令
則式(1)可以表示為△u(t)、y(t)、w(t)的等式：
1．2 預測控制法則
雖然預測控制包括很多算法，但基本原理相同，它們采用二次型函數作為系統性能指標：
式中，Yd為期望輸出向量，當不采用柔化方法時，直接令其為設定值向量；
為系統未來輸出自由響應估計向量；
為系統未來輸出強迫響應估計；
對J進行極小化，可求最優解為：
其中G為一系列矩陣已知的組合，這些矩陣都來自于對Yo和Yf的求取過程。
2 基于GPC的自適應PID控制器設計
2．1 GPC算法描述
廣義預測控制(GPC)采用CARIMA模型描述被控對象：
其中，
式中，ζ(t)為均值為0、方差為σ2的白噪聲序列，d為系統延遲。
系統二次型性能指標函數為：
式中，入為控制增量加權因子，N1、N2、和NU分別為最小預測時域、最大預測時域和控制時域。為簡化計算，通常令NI=1，N2＝NU=N。
對式(12)J極小化后求得二次型性能指標函數的最優解為：
式中
可通過如下丟番圖方程計算：
其中，
且P(z-1)被定義為：
其中Pj可由下式計算：
式中R陣由式(12)中的Rj(z-1)系數構成，
另外，A被定義為：
2．2 PID參數整定
其中，
如果下式
成立，那么式(22)與式(4)恒等，并且可以得到
其中，
2．3 系統模型參數辨識
對于式(11)中的多項式中的參數，可以通過下面的遞推最小二乘算法得到。
式中，α為遺忘因子，θ(k)為參數向量估計，ψ(k+1)為對應的數據向量。
3 仿真實例
將基于GPC的煙氣氧含量PID控制器與定值PID控制器做MATLAB仿真比較：
控制參數取值如下：λ=2，d=3，N=20 。當控制對象和設定值變化時，固定取值不再適合新的控制對象，如圖1所示；而基于GPC的PID控制器能夠在控制對象和設定值變化時調用控制算法，對新的控制對象PID參數進行調整，具有一定的自適應性，有效地減小了超調和響應時間，如圖2所示。
4 結論
本文討論了預測控制律與PID控制律之間的對應關系，通過一個實際的例子(基于GPC的PID控制器設計)得出PID控制器的參數。仿真結果表明了文中所提出方法適用于火電鍋爐煙氣氧含量控制回路，進一步的研究工作將集中在處理大延遲對象和如何確定標準用以切換控制對象模型的問題上。